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MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS: Observações

  A Família dos Hiperbolóides
  Superfícies de Revolução
  Superfícies Cilíndricas
  Planos e Superfícies Imaginárias
  Superfícies mais Gerais


           A Família dos Hiperbolóides:   Os hiperbolóides elípticos podem ser vistos simultaneamente como superfícies de nível de uma única função real de três variáveis reais; neste sentido, fazem parte de uma família a um parâmetro de superfícies; um análogo bidimensional são as curvas de nível do parabolóide hiperbólico, que podem ser vistas como uma família a um parâmetro de hipérboles. Uma visualização disto pode ser encontrada aqui.

           Superfícies de Revolução:  Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução: para isto basta que exibam uma simetria em relação a algum eixo. Geometricamente, isto significa que são círculos todos os cortes da superfície por uma família de planos paralelos; algebricamente, em termos das equações-padrão apresentadas na classificação, isto ocorre quando pelo menos duas das três constantes a, b ou c são idênticas. No caso do elipsóide, por exemplo, sempre resulta uma superfície de revolução, bastando para isso a igualdade de duas quaisquer destas constantes; assim obtemos os esferóides e a esfera. No caso dos hiperbolóides e do parabolóide elíptico, a simetria axial só ocorre quando a = b. Finalmente, o parabolóide hiperbólico nunca apresenta simetria axial e portanto nunca é uma superfície de revolução.

           Superfícies Cilíndricas:  Os cilindros quádricos são o lugar geométrico tridimensional de equações de segundo grau em duas variáveis, ou então, o que é mesma coisa, de equações de segundo grau em três variáveis em que uma não aparece explicitamente. Nenhum valor da variável que não aparece deixa de satisfazer a equação e, assim, fazem parte da superfície cilíndrica todas as retas perpendiculares ao plano determinado pelas duas variáveis que aparecem na equação, sempre que o pé da perpendicular satisfaz a equação nas duas variáveis deste plano. Com uma variável a menos, a equação de segundo grau determina uma curva plana que, em geral, é uma cônica não-degenerada deste plano; assim obtemos, entre outros, os cilindros elípticos, hiperbólicos e parabólicos, que podem ser visualizados aqui.

           Pares de Planos e Superfícies Imaginárias:   Em certos casos, o lugar geometrico determinado por uma equação do segundo grau nas três variáveis x, y e z não é uma das seis quádricas não-degeneradas nem um cilindro, mas sim dois planos, reais ou imaginários, ou então uma superfície imaginária. (Situação análoga ocorre em duas variáveis, originando as cônica degeneradas.)

         Por exemplo, o par de planos verticais dados por x = 0 e x = 1, paralelos ao plano y z, é determinado pela equação do segundo grau nas três variáveis x, y e z dada por x2 - x = 0 ou, equivalentemente, por x(x - 1) = 0 ; analogamente, o lugar geométrico da equação do segundo grau nas três variáveis x, y e z dada por x2 = 0 é um par de planos y z coincidentes, ambos de equação x = 0.

         Quando a equação padrão dada na classificação não apresenta soluções reais não-triviais, falamos exageradamente em superfícies imaginárias, o que significa que estas superfícies só podem ser pensadas no espaço tridimensional complexo C3, de seis dimensões reais; por exemplo, a equação x2 + 1 = 0 representa os dois planos paralelos imaginários dados por x = i e x = - i e a equação

Equação Padrão do Elipsóide Imaginário

que só tem soluções complexas, representa um elipsóide imaginário cujos seis vértices são dados pelos pontos (± i a,0,0), (0, ± i b, 0) e (0, 0, ± i c) de C3.

           Superfícies Mais Gerais:  As quádricas visualizadas nestas páginas constituem uma família eminentemente algébrica de superfícies, catalogadas a partir de sua equação algébrica; o conteúdo geométrico e topológico desta classificação é muito tênue. Tente, por exemplo, distinguir qual destas superfícies representa um parabolóide elíptico:

Três Superficies Tipo Mínimo Absoluto

Sem ter à mão as equações, isto é muito difícil; no entanto, de posse das mesmas, sabemos que as três figuras acima representam, respectivamente, o lugar geométrico das equações

Equações das três Superficies Tipo Mínimo Absoluto dadas

e portanto só a primeira é uma quádrica.

         O mesmo ocorre com todas as outras quádricas: uma superfície muito parecida com uma quádrica pode não ser uma quádrica mas sim ser o lugar geométrico de uma equação polinomial algébrica de grau muito maior do que 2 ou então até de uma equação transcendente. Um estudo do ponto de vista geométrico pode ser encontrado em disciplinas de Geometria Diferencial e um estudo do ponto de vista topológico em disciplinas de Topologia, usualmente oferecidas somente nos Bacharelados em Matemática.



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