© 2001-2017 Instituto de Matemática — UFRGS


MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS: O Elipsóide

O Elipsóide Girando em Torno do Centro

A equação-padrão do elipsóide é

Equação-Padrão do Elipsóide

O Elipsóide

sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. Estes parâmetros são os semi-eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide pelos planos coordenados z = 0, y = 0 e x = 0, respectivamente, dadas pelas equações

Equação das Elipses nos Cortes dos Planos Coordenados

         Estas três elipses aparecem nas cores vermelho, azul e verde nas figuras a seguir: à esquerda aparecem as três elipses no elipsóide transparente e à direita aparecem (partes d)as mesmas elipses no mesmo elipsóide, agora pintado de marrom.

As Três Elipses Cortadas do Elipsóide As Três Elipses no Elipsóide

         É fácil obter os cortes do elipsóide com os eixos coordenados: fazendo z = y = 0 na equação do elipsóide, obtemos

Equação do Corte do Elipsóide com o Eixo x O Corte do Elipsóide no Primeiro Octante

e portanto x = ± a. Da mesma maneira obtemos os outros cortes, ou seja,

Equação dos Cortes do Elipsóide com os Eixos Coordenados

No primeiro octante, os pontos de cortes do elipsóide com os eixos coordenados são os pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c); na figura ao lado aparecem estes pontos junto com os cortes do elipsóide com os planos coordenados no primeiro octante.

         O elipsóide nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais, pois geralmente ocorrem dois cortes por retas verticais. No entanto, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções

Curvas de Nível do Elipsóide Funções cujos Gráficos formam o Elipsóide
As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem ao lado: são elipses dadas pela equação
Equação das Curvas de Nível do Elipsóide
com k variando entre c e -c.

Para k = c temos um ponto na origem e para k = 0 temos a elipse máxima na cor carmim. Observe que a simetria do elipsóide é tal que o que foi feito com a variável z também pode ser feito com as outras duas variáveis, com o mesmo resultado: os cortes do elipsóide por planos paralelos aos planos coordenados sempre são elipses.

         O elipsóide tem uma versão com ainda maior simetria, que sempre é uma superfície de revolução: o esferóide, que ocorre quando pelo menos dois dos três semi-eixos são iguais. Neste caso, os cortes do elipsóide por planos paralelos a um ou aos três planos coordenados são círculos. Distinguimos três tipos de esferóides: o alongado (ou prolato), do tipo bola de futebol americano, com a = b < c, o achatado (ou oblato), do tipo disco voador, com a = b > c e, finalmente, a esfera, com a = b = c.

Esferóide Prolato Esferóide Oblato Esfera
Equação-Padrão do Esferóide     Equação-Padrão do Esferóide     Equação-Padrão do Esfera

Esferóide Prolato 

   Esferóide Oblato  

Esfera



de volta às quádricas hiperbolóide elíptico de duas folhas