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MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS:
O Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas

Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de duas folhas é

Equação-Padrão do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas

sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. O parâmetro c tem uma imediata identificação geométrica, pois os dois pontos (0, 0, ± c) são os vértices do hiperbolóide elíptico de duas folhas; além disto, são os únicos pontos de corte deste hiperbolóide com os eixos coordenados. Para ver isto, tomamos z = 0 na equação-padrão acima e obtemos

Equação do Corte do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas com o Plano xy
que não possui solução (real) e portanto não há cortes nem com o plano coordenado x y nem com os eixos x ou y; no entanto, tomando x = 0 e y = 0 na equação-padrão acima, resulta z2 = c2 e obtemos os dois pontos de vértice.

Os Cortes do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas pelos Planos Coordenados Os Cortes do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas pelos Planos Coordenados

         Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com os planos coordenados verticais são as hipérboles que aparecem nas cores verde e azul nas figuras ao lado; à esquerda temos as duas hipérboles no hiperbolóide elíptico de duas folhas transparente e à direita aparecem (partes d)estas curvas no mesmo hiperbolóide elíptico de duas folhas, agora pintado de marrom. Estas hipérboles, de equações Os Cortes do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas no Primeiro Octante

Equação do Corte do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas com os Planos xz e yz
são obtidas tomando y = 0 e x = 0 na equação-padrão. Nestas figuras também aparecem em carmim os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas por dois planos horizontais z = ± k, que são as elipses de equações
Equação do Corte do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas com Planos Horizontais
para uma constante k > c. (Já observamos que para - c < k < c não há corte e que, para k = ± c, temos os vértices.) Na figura acima, à direita, vemos as partes de todas estas curvas que aparecem no primeiro octante.

         Convém observar que o que é exibido nestas figuras é só uma parte do hiperbolóide elíptico de duas folhas, que se estende indefinidamente em todos os seis sentidos do espaço tridimensional; como ocorre com a hipérbole, no entanto, basta entender o comportamento do hiperbolóide na vizinhança da origem, pois o resto é bastante previsível. Também observamos que tomando a = b na equação-padrão, obtemos um hiperbolóide circular de duas folhas , que sempre é uma superfície de revolução.

Curvas dos Cortes por Planos Verticais Paralelos aos Planos Coordenados

         Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com qualquer plano vertical paralelo a um dos planos coordenados x z ou y z sempre produz uma hipérbole, de equação

As Equações dos Cortes Verticais do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
ou
As Equações dos Cortes Verticais do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
tomando, respectivamente, y = ± k ou x = ± k constante. Na figura, as hipérboles limites em carmim são obtidas pelos planos coordenados verticais pela origem.

Curvas de Nível do Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas

         O hiperbolóide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções

As Duas Funções Cujos Gráficos Formam o Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem ao lado: são as elipses vistas acima, dadas pelos cortes por planos horizontais.

         Concluímos esta visualização do hiperbolóide elíptico de duas folhas deixando-o girar livremente em torno da origem:

O Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas Girando em Torno da Origem



elipsóide quádricas cone elíptico