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MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS: O Parabolóide Elíptico

O Parabolóide Elíptico Girando em Torno do Vértice

A equação-padrão do parabolóide elíptico é

Equação-Padrão do Parabolóide Elíptico

sendo convencionado que a > 0 e b > 0. (Nesta página, tomamos o sinal - desta equação.)

O Parabolóide Elíptico

         Não há cortes do parabolóide elíptico com os eixos coordenados, exceto pela origem: tomando duas variáveis nulas na equação do parabolóide elíptico, obtemos sempre a origem (0, 0, 0), que é o vértice do parabolóide; o mesmo ocorre com o corte do parabolóide elíptico com o plano coordenado z = 0, que é só a origem (0, 0, 0).

         Já os cortes com planos paralelos ao plano coordenado x y, quando não-vazios, são as elipses dadas por

O Corte do Parabolóide Elíptico no Primeiro Octante Equação das Elipses nos Cortes por Planos Horizontais

nas figuras a seguir, estas elipses aparecem na cor carmim. O corte do parabolóide elíptico com os planos coordenados verticais y = 0 e x = 0, são as parábolas dadas por

Equação das Elipses nos Cortes por Planos Coordenados Verticais

que aparecem nas cores verde e azul no primeiro octante ao lado e nas duas figuras abaixo.

Os Cortes do Parabolóide Elíptico por Planos Os Cortes do Parabolóide Elíptico por Planos

À esquerda aparecem a elipse e as duas parábolas no parabolóide elíptico transparente e à direita aparecem (partes d)estas curvas no mesmo parabolóide elíptico, agora pintado de marrom.

         Convém observar que o que é exibido nas figuras é só uma parte do parabolóide elíptico, que se estende indefinidamente "para cima"; como ocorre com a parábola, no entanto, basta entender o comportamento do parabolóide na vizinhança do vértice, pois o resto é bastante previsível. Além do elipsóide (que é limitado nos seis sentidos do espaço tridimensional), o parabolóide elíptico é a única quádrica que tem algum dos seis sentidos limitados, no caso, "para baixo". Também observamos que tomando a = b na equação-padrão, obtemos um parabolóide circular, que sempre é uma superfície de revolução.

         O parabolóide elíptico evidentemente é o gráfico da função real

A Função cujo Gráfico é p Parabolóide Elíptico

de duas variáveis reais obtida da equação-padrão. As curvas de nível desta função aparecem abaixo, à esquerda: são as elipses dadas pelos cortes horizontais vistos acima. Finalmente, os cortes por planos verticais paralelos sempre resultam em parábolas, como indicamos na figura abaixo à direita, na qual a parábola máxima carmim é obtida com um plano vertical pelo vértice.

Curvas de Nível do Parabolóide Elíptico Curvas dos Cortes por Planos Verticais
Cortes Horizontais Cortes Verticais



hiperbolóide de uma folha quádricas parabolóide hiperbólico