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MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS: A Classificação

         Analogamente ao que é feito com as equações do segundo grau nas duas variáveis x e y para classificar as curvas cônicas do plano, também neste caso de três variáveis x, y e z efetuamos uma translação e/ou uma rotação para identificar a equação equivalente em formato padrão. A translação consiste em completar os quadrados, enquanto a rotação, que elimina o(s) termo(s) envolvendo duas variáveis, é bastante mais sutil: este tipo de conta pode ser acompanhada nas disciplinas de Álgebra Linear e não será feita.

         O nosso objetivo aqui é meramente apresentar a classificação das quádricas em termos de invariantes. Para isto, convém reescrever a equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z ordenando os coeficientes, como segue:

       a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz

+ 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0 .              

A forma quadrática associada a esta equação é dada por

a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz ,

cuja equação característica é

  det
a11 - r a12 a13
a12 a22 - r a23
a13 a23 a33 - r
= 0  

em formato de determinante.

         Observe que a equação característica é uma equação de terceiro grau em r . As três raízes r1, r2 e r3 desta equação determinam os invariantes

 
  J = r1r2 + r1r3 + r2r3
    = det
a11 a12
a12 a22
+ det
a22 a23
a23 a33
+ det
a33 a13
a13 a11

  S = r1 + r2 + r3
     = a11 + a22 + a33 
 
  d = r1r2r3
    = det 
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33

da forma quadrática; além disto, usamos o determinante

D = det
a11 a12 a13 a1
a21 a22 a23 a2
a31 a32 a33 a3
a1 a2 a3 a0

         Com estes quatro invariantes (os números J, S, d e D) podemos classificar todas as seis quádricas não-degeneradas, como segue:


Caso d não-nulo, S · d > 0 e J > 0 :
  D < 0  Equação Padrão do Elipsóide elipsóide Elipsóide

Caso d não-nulo, S · d < 0 ou J < 0 :
  D < 0  Equação Padrão do
        Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas   hiperbolóide elíptico 
 de duas folhas 
Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
  D = 0  Equação Padrão do
        Cone Elíptico cone elíptico Cone Elíptico
  D > 0  Equação Padrão do
        Hiperbolóide Elíptico de Uma Folha   hiperbolóide elíptico 
 de uma folha 
Hiperbolóide de Uma Folha

Caso d = 0 :
  D < 0   Equação Padrão do Parabolóide Elíptico   parabolóide 
 elíptico 
Parabolóide Elíptico
  D > 0   Equação Padrão do
    Parabolóide Hiperbólico   parabolóide 
 hiperbólico 
Parabolóide Hiperbólico

         Além destas, a classificação pelos quatro invariantes J, S, d e D fornece as demais quádricas, ditas degeneradas:


Caso d não-nulo, S · d > 0 e J > 0 :
  D = 0    Equação Padrão do
        Elipsóide Imaginário elipsóide
imaginário
sem visualização
real
  D > 0  Equação Padrão do
        Cone Imaginário com Vértice Real  cone imaginário 
com vértice real
sem visualização
real

Caso d = 0 :
  D = 0  Neste caso, uma das três variáveis não aparece na equação padrão e temos um cilindro (elíptico se J > 0 , parabólico se J = 0  ou hiperbólico se J < 0 ) ou então temos um par de planos (reais, coincidentes ou imaginários), sem equação padrão útil.



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