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MAT 01354   Cálculo e Geometria Analítica IIA

QUÁDRICAS: Uma Introdução


A x2 + B y2 + C z2 + D xy + E xz + F yz + a x + b y + c z + d = 0


         A equação acima é a equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z. O lugar geométrico de uma destas equações (ou seja, a totalidade dos pontos P do espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas x, y e z satisfazem a equação) é uma superfície quádrica, às vezes também denominada conicóide. As quádricas que apresentamos nestas páginas são as não-degeneradas, ou seja, o elipsóide, os hiperbolóides e os parabolóides, em analogia total com o estudo bidimensional, no Cálculo IA, das curvas planas denominadas cônicas.

         Uma exigência básica sobre a equação acima é que pelo menos um dos coeficientes A, B, …, F seja não nulo pois, no caso em que todos estes coeficientes são nulos, a equação nem sequer é de segundo grau (e representa um plano, ou até mesmo um ponto no espaço, como sabemos). Também eliminamos os casos triviais do tipo x2 - x = 0, que equivale a x(x - 1) = 0 e portanto às duas equações x = 0 e x = 1, que representam dois planos paralelos ao plano y z.

         Para obter as quádricas não-degeneradas a partir desses seis coeficientes não todos nulos, bem como dos restantes quatro a, b, c e d, calculam-se os invariantes da equação, que são números dados em termos de determinantes e traços de certas matrizes formadas com estes dez coeficientes. Estes invariantes nos permitem classificar todas as equações de segundo grau em três variáveis; a dedução desta classificação não será vista, mas aqui pode ser encontrada a tabela de classificação da equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z em termos dos invariantes.

         Cada uma das quádricas obtidas na classificação tem uma equação-padrão e é a partir desta que apresentamos a visualização das quádricas nas demais páginas.



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