Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Terceira Verificação : Fila A - 2003/2
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Questão 1. (2.0 pontos) Calcule

(a) $$\int \frac{-4x^2 - 5x -3}{x^3 + 2x^2 + x} dx$$

(b) $$\int \frac{3x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$$.

Questão 2. (2.0 pontos) Considere a curva $$y = \frac{2}{x+1}$$ e a reta $y = x$.

(a) Faça um esboço da região $R$, no primeiro quadrante, limitada pela curva e reta dadas acima e o eixo Y, identificando claramente todos os pontos de intersecção .

(b) Calcule a área da região $R$.

(c) Escreva a integral que calcula o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região $R$ em torno do eixo Y. (não calcule)

Questão 3. (2.0 pontos)

(a) Determine a equação da parábola que possui vértice em $(1,2)$ e diretriz $x = -1$.

(b) Esboçe o gráfico da hipérbole $9y^2 - 4x^2 - 36y - 24x = 36$, indicando seu centro, vértices, focos e assíntotas.

Questão 4. (2.0 pontos)

(a) (0.5 pontos) A integral $$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{2-x}}$$ é uma integral imprópria ? Justifique.

(b) (1.5 pontos) Calcule a área da região determinada pelo gráfico de

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x}},$$

sua assíntota vertical e os eixos coordenados.

Questão 5. (2.0 pontos)

(1) Seja $$F(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-9}{t^2+4} dt$$ para todo $x \in {\mathbb{R}}$. Calcule a derivada de $F$.

(2) Calcule $$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\int_2^x e^{t^2}dt} {x^2-4}$$ usando a regra de L'Hopital.