Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Terceira Verificação : Fila A - 2003/2

Questão 1. (2.0 pontos) Calcule

(a) $$\int \frac{-4x^2 - 5x -3}{x^3 + 2x^2 + x} dx$$

(b) $$\int \frac{3x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$$.

Solução :

(a) Frações Parciais: $x^3 + 2x^2 + x = x(x^2+2x+1) = x(x+1)^2$

$$\frac{-4x^2 - 5x - 3}{x^3 + 2x^2 + x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} = \frac{A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx}{x(x+1)^2} =$$

$$= \frac{Ax^2 + 2Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx }{x(x+1)^2} = \frac{(A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A}{x(x+1)^2}$$

e assim $(A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A = -4x^2 - 5x -3 \ \ \forall x$. Então

$$\left\{ \begin{array}{rl} A + B = & -4 \\ 2A + B + C = & -5 \\ A = & -3 \end{array} \right.$$

e obtemos, sucessivamente,

$$A = -3, B = -4 + 3 = 1$$ e $C = -5 - 2(-3)-(-1) = 2$.

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$$\int \frac{-4x^2-5x-3}{x^3+2x^2+x} dx = \int \left( \frac{-3}{x} + \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) dx$$

e então

$$\int \frac{-4x^2-5x-3}{x^3+2x^2+x} dx = -3 \ln \vert x\vert - \ln \vert x+1\vert + \frac{2(x+1)^{-1}}{-1} + C =$$

$$= -3 \ln \vert x\vert - \ln \vert x+1\vert - \frac{2}{x+1}+ C$$

onde $C$ é uma constante real qualquer.

(b) Evitando zero no denominador, fazemos a substituição :

$$x = 3 \mbox{sen} \, (\theta) , -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \Rightarrow dx = 3 \cos(\theta) d\theta .$$

obtendo

$$\mbox{sen} \, (\theta) = \frac{x}{3} \ , \ \cos (\theta) = \sqrt{... ...\mbox{sen} \, ^2(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{9} } = \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$$.

Segue que

$$\int \frac{3x^3}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{ 3 (3\mbox{sen} \,... ...os\theta }{3 \cos \theta}d \theta = 81 \int \mbox{sen} \, ^3 \theta d \theta =$$

$$81 \int \mbox{sen} \, ^2 \theta \mbox{sen} \, \theta d \theta = ... ...( \mbox{sen} \, \theta - \cos^2 \theta \mbox{sen} \, \theta \right) d \theta =$$

$$81 \left( -\cos \theta - \frac{-\cos^3 \theta}{3} \right) + C = 81 \left( \frac{\cos^3 \theta}{3} - \cos \theta \right) + C =$$

$$81 \left( \frac{(\sqrt{9-x^2})^3}{81} - \frac{\sqrt{9-x^2}}{3} \right) + C = \sqrt{(9-x^2)^3} - 27 \sqrt{9-x^2} + C$$

onde $C \in {\mathbb{R}}$.

Questão 2. (2.0 pontos) Considere a curva $$y = \frac{2}{x+1}$$ e a reta $y = x$.

(a) Faça um esboço da região $R$, no primeiro quadrante, limitada pela curva e reta dadas acima e o eixo Y, identificando claramente todos os pontos de intersecção .

(b) Calcule a área da região $R$.

(c) Escreva a integral que calcula o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região $R$ em torno do eixo Y. (não calcule)

Solução :

Pontos de intersecção entre a curva e a reta:

$$y = \frac{2}{x+1}= x \Rightarrow x^2 + x = 2 \Rightarrow x^2+x-2 = 0$$

e resolvendo a equação do segundo grau obtemos $x=1$ e $x=-2$, e apenas o primeiro valor interessa.

Intersecção da curva com o eixo Y:

$$\frac{2}{x+1} = 2 \Rightarrow x = 0$$

Intersecção da reta com o eixo $y$ : $x = 0$ (origem)

(b) Calculando em $x$:

$$A = \int_0^1 \left(\frac{2}{x+1}-x\right) dx = \left[ 2 \ln \vert... ...^2}{2} \right]_0^1 = 2 \ln(2) - 2 \ln(1) - \frac{1}{2} = 2 \ln(2) - \frac{1}{2}$$

Calculando em $y$:

$$y = \frac{2}{x+1} \Leftrightarrow x = \frac{2}{y} - 1$$

$$A = \int_0^1 y dy + \int_1^2 x dy = \int_0^1 y dy + \int_1^2 \left( \frac{2}{y} - 1 \right) dy$$

$$A = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 + \left[ 2 \ln\vert y\vert -... ...ight]_1^2 = \frac{1}{2} + 2 \ln(2) - 2 \ln(1) - 2 + 1 = 2 \ln(2) - \frac{1}{2}$$

(c)

$$V = \int_0^1 \pi x^2 dy + \int_1^2 \pi x^2 dy = \pi \int_0^1 y^2 dy + \pi \int_1^2 \left( \frac{2}{y} - 1\right)^2 dy$$

Questão 3. (2.0 pontos)

(a) Determine a equação da parábola que possui vértice em $(1,2)$ e diretriz $x = -1$.

(b) Esboçe o gráfico da hipérbole $9y^2 - 4x^2 - 36y - 24x = 36$, indicando seu centro, vértices, focos e assíntotas.

Solução :

(a) $V(1,2)$, diretriz $x=1 \Longrightarrow$ o eixo de simetria é paralelo ao eixo $x$, e $p=2$. Temos então

$$(y-2)^2 = 4 (2) (x-1) \Leftrightarrow (y-2)^2 = 8 (x-1)$$

(b) Completamento de quadrados:

$$9 y^2 - 4x^2 - 36y - 24 x = 36 \Leftrightarrow 9y^2 - 36 y - 4x^2 - 24x = 36$$

$$9(y^2 - 4y) - 4(x^2 + 6x) = 36 \Leftrightarrow 9 (y^2 - 4y + 4) - 4(x^2 + 6x + 9) = 36 + 36 - 36$$

$$9(y-2)^2 - 4(x+3)^2 = 36 \Leftrightarrow \frac{(y-2)^2}{36/9} - \frac{(x+3)^2}{36/4} = 1$$

$$\frac{(y-2)^2}{2^2} - \frac{(x+3)^2}{3^2} = 1$$

e imediatamente vemos uma hipérbole com $C(-3,2), a = 2, b = 3$ ( eixo principal paralelo ao eixo Y)

$$c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13 \Rightarrow c = \sqrt{13}$$

e assim

$$V_1 (-3,2 -2) = V_1(-3,0) \ \mbox{e} \ V_2(-3,2+ 2) = V_2(-3,4)$$

$$F_1(-3, 2 - \sqrt{13}) \ \mbox{e} \ F_2(-3, 2 + \sqrt{13})$$

Questão 4. (2.0 pontos)

(a) (0.5 pontos) A integral $$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{2-x}}$$ é uma integral imprópria ? Justifique.

(b) (1.5 pontos) Calcule a área da região determinada pelo gráfico de

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x}},$$

sua assíntota vertical e os eixos coordenados.

Solução :

(a) SIM. O denominador do integrando é zero quando $x=2$; ou, de outra forma, a função não é contínua em $x=2$.

(b) Temos

$$A = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{2-x}} dx = \lim_{b \rightarrow 2^{-}}... ...} dx = \lim_{b \rightarrow 2^{-}} \left[ \frac{(2-x)^{1/2}}{-1/2} \right]_0^b$$

$$= \lim_{b \rightarrow 2^{-}} \left[-2 \sqrt{2-b} \ + 2 \sqrt{2} \right] = 2 \sqrt{2}$$

vide esboço abaixo:

Questão 5. (2.0 pontos)

(1) Seja $$F(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-9}{t^2+4} dt$$ para todo $x \in {\mathbb{R}}$. Calcule a derivada de $F$.

(2) Calcule $$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\int_2^x e^{t^2}dt} {x^2-4}$$ usando a regra de L'Hopital.

Solução :

(1)

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} \left[ \int_0^{x^3} \frac{t^2-9}{t^2+4} dt \right] = \frac{ (x^2)^2 - 9}{(x^2)^2 + 4} (2x)$$

$$= 2x \frac{x^4-9}{x^4 + 4} = \frac{2x^5 - 18x}{x^4 + 4}$$

(2) Observamos que numerador e denominador tendem a zero ao $x \rightarrow 2$.

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{ \int_2^x e^{t^2} dt }{x^2-4} \begi... ...^2 - 4 \right]} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{e^{x^2}(1)}{2x} = \frac{e^4}{4}$$