Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Segunda Verificação : Fila D - 2003/2
Veja aqui o gabarito em HTML (MS Explorer, Mozilla e outros)
Veja aqui o gabarito em PDF (Adobe Acrobat Reader)

Questão 1. (1.5 pontos) Calcule

(a) $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ arcsen(5x)}{3x^2-4x}$$

(b) $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 10x^2+3x-4\right)^{\frac{1}{ \ln(x)}}$$

Questão 2. (1.0 ponto) Cada figura abaixo mostra o gráfico de uma função $f$. Em cada caso, verifique se $(0,0)$ é ou não ponto de inflexão do gráfico de $f$. Justifique suas respostas.

Questão 3. (2.5 pontos) Seja $f$ a função dada por $$f(x) = \frac{5x^2}{x^2+3}$$.

(a) Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de $f$, bem como os seus extremos relativos (locais).

(b) Verifique a existência de assíntotas verticais e horizontais do gráfico de $f$; em caso afirmativo, escreva a(s) equação (ões) da(s) assíntota(s).

(c) Esboce o gráfico de $f$ sabendo que $f''(x) > 0$ em $(-1,1)$ e $f''(x) < 0$ em $(-\infty,-1) \bigcup (1,+\infty)$. Indique, no gráfico obtido, todos extremos relativos, todos os pontos de inflexão e todas as assíntotas.

Questão 4. (1.5 pontos) Um triângulo isósceles situado acima do eixo $x$ tem um de seus vértices na origem, base paralela ao eixo $x$, e demais vértices na parábola $y = 16-x^2$. Calcule a área do maior triangulo nessas condições .

Questão 5. (1.5 pontos) Dada a função $$f(x) = x - \frac{\ln(x)}{5}$$.

(a) Determine os extremos absolutos de $f$ em $(0,+\infty)$, caso existam.

(b) Use o item (a) para mostrar que $$x > \frac{\ln(x)}{5}$$, para todo $x > 0$.

Questão 6. (2.0 pontos) Determine:

(a) $$\int x e^{kx}dx$$, onde $k$ é uma constante;

(b) $$\int \frac{t}{3t^2+6} dt$$