Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Segunda Verificação : Fila D - 2003/2

Questão 1. (1.5 pontos) Calcule

(a) $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ arcsen(5x)}{3x^2-4x}$$

(b) $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 10x^2+3x-4\right)^{\frac{1}{ \ln(x)}}$$

Solução :

(a) Temos uma indeterminação do tipo $0/0$, aplicando a Regra de L'Hopital

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ arcsen(5x)}{3x^2-4x} = \lim_{x \righ... ...\sqrt{1-(5x)^2}}}{6x-4} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{5/1}{0-4} = \frac{-5}{4}$$

(b) Temos um indeterminação do tipo $\infty/\infty$. Seja

$$L = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 10x^2+3x-4\right)^{\frac{1}{\ln(x)}}$$.

Então

$$\ln(L) = \ln \left( \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 10x^2+3x-... ...tarrow +\infty} \ln \left( \left( 10x^2+3x-4\right)^{\frac{1}{\ln(x)}} \right)$$

pois $ln(x)$ é contínua em seu domínio. Assim,

$$\ln(L) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\ln(x)} \ln \left(... ...) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln \left( 10x^2+3x-4\right) }{\ln(x)}$$

Indeterminação $\infty/\infty \Rightarrow$ Regra de L'Hopital:

$$\ln(L) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \frac{20... ...}{10x^2+3x-4} }{ 1/x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x(20x+3)}{10x^2+3x-4}$$

$$\ln(L) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{20x^2}{10x^2} = 2$$

e assim

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 10x^2+3x-4\right)^{\frac{1}{\ln(x)}}= L = e^2$$.

Questão 2. (1.0 ponto) Cada figura abaixo mostra o gráfico de uma função $f$. Em cada caso, verifique se $(0,0)$ é ou não ponto de inflexão do gráfico de $f$. Justifique suas respostas.

Solução :

(I) O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(-\infty,0)$. O gráfico de $f$ é côncavo para cima no intervalo $(0,+\infty)$. Então $(0,0)$ é ponto de inflexão .

(II) O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(-\infty,0)$. O gráfico de $f$ é côncavo para cima no intervalo $(0,+\infty)$. Então $(0,0)$ é ponto de inflexão .

(III) O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(-\infty,0)$. O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(0,+\infty)$. O ponto $(0,0)$ então não é ponto de inflexão .

(IV) O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(-\infty,0)$. O gráfico de $f$ é côncavo para baixo no intervalo $(0,+\infty)$. Então $(0,0)$ é ponto de inflexão .

Questão 3. (2.5 pontos) Seja $f$ a função dada por $$f(x) = \frac{5x^2}{x^2+3}$$.

(a) Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de $f$, bem como os seus extremos relativos (locais).

(b) Verifique a existência de assíntotas verticais e horizontais do gráfico de $f$; em caso afirmativo, escreva a(s) equação (ões) da(s) assíntota(s).

(c) Esboce o gráfico de $f$ sabendo que $f''(x) > 0$ em $(-1,1)$ e $f''(x) < 0$ em $(-\infty,-1) \bigcup (1,+\infty)$. Indique, no gráfico obtido, todos extremos relativos, todos os pontos de inflexão e todas as assíntotas.

Solução :

(a)

$$f'(x) = \frac{(x^2+3)(10x) - 5x^2 (2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{30x}{(x^2+3)^2}$$

como o denominador é sempre positivo, não se anula. $x=0$ é o único valor que anula o numerador.

Assim

• $f(x)$ é decrescente no intervalo $(-\infty,0]$;
• $f(x)$ é crescente no intervalo $[0,+\infty)$;
• pelo Teste da Derivada Primeira, $x=0$ é então ponto de mínimo relativo.

(b) Teste no $-\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{5x^2}{x^2+3} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{5x^2}{x^2} = 5$$ assim $y=5$ é assíntota horizontal no $-\infty$.

Teste no $+\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5x^2}{x^2+3} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5x^2}{x^2} = 5$$ assim $y=5$ é assíntota horizontal no $+\infty$.

Assintotas verticais: não existem pois $f(x)$ é uma função racional cujo denominador não se anula, e portanto é uma função contínua em $(-\infty,+\infty)$.

Obs.: outra maneira de justificar a inexistência de assíntotas verticais é usando a informação sobre a derivada $f'(x)$: $f'(x)$ está sempre bem definida, ou seja $D(f') = (-\infty,+\infty)$.

(c)

$$f(0) = \frac{5(0)}{0+3} = 0 \ , \ f(\pm 1) = \frac{5(1)}{1+3} = \frac{5}{4}$$

Questão 4. (1.5 pontos) Um triângulo isósceles situado acima do eixo $x$ tem um de seus vértices na origem, base paralela ao eixo $x$, e demais vértices na parábola $y = 16-x^2$. Calcule a área do maior triangulo nessas condições .

Solução :

Área do triângulo = base x altura /2 :

$$A(x) = \frac{(2x) y}{2} = \frac{2x (16-x^2)}{2}= x (16-x^2)$$

para $0 < x < 4$.

$$A'(x) = (1)(16-x^2) + x(-2x) = 16 - 3x^2$$

Pontos críticos $16-3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16/3 \Rightarrow x = 4/\sqrt{3}$.

e pelo teste da derivada primeira (TDP) $x = 4/\sqrt{3}$ é um ponto de máximo local. Como esse ponto é o único extremo relativo em $(0,4)$, $x = 4/\sqrt{3}$ também é ponto de máximo absoluto em $(0,4)$.

Respondendo à pergunta: a maior área é

$$A \left(\frac{4}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \left(16 - \frac{16}{3} \right) = \frac{4(2)(16)}{3 \sqrt{3}}= \frac{128\sqrt{3}}{9}$$.

unidades de área.

Questão 5. (1.5 pontos) Dada a função $$f(x) = x - \frac{\ln(x)}{5}$$.

(a) Determine os extremos absolutos de $f$ em $(0,+\infty)$, caso existam.

(b) Use o item (a) para mostrar que $$x > \frac{\ln(x)}{5}$$, para todo $x > 0$.

Solução :

(a)

$$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} x - \frac{\ln(x)}{5} = + \infty$$

pois $\ln(x) \rightarrow -\infty$. Então , não existem máximos absolutos em $(0,+\infty)$.

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{5x} \ , x > 0$$

$$f''(x) = \frac{1}{5x^2} \ , \ x > 0$$

Existe apenas um ponto crítico em $(0,+\infty)$: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 5x=1 \Leftrightarrow x = 1/5$.

Como $f''(x) > 0 \ \ \forall x \in (0,+\infty)$, temos $f''(1/5) > 0$ e assim $x=1/5$ é um ponto de mínimo relativo pelo Teste da Derivada Segunda. Como esse é o único extremo relativo em $(0,+\infty)$ , segue que $x=1/5$ é também ponto de mínimo absoluto em $(0,+\infty)$.

(b) Pelo resultado da parte (a) $f(x) \geq f(1/5)$ para todo $x$ no intervalo $(0,+\infty)$. Entretanto

$$f \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{5} - \frac{\ln(1/5)}{5} = \frac{1}{5} + \frac{\ln(5)}{5} > 0$$

e assim

$$f(x) \geq f(1/5) > 0 \Rightarrow x - \frac{\ln(x)}{5} > 0 \Rightarrow x > \frac{\ln(x)}{5}$$

para todo $x > 0$.

Questão 6. (2.0 pontos) Determine:

(a) $$\int x e^{kx}dx$$, onde $k$ é uma constante;

(b) $$\int \frac{t}{3t^2+6} dt$$

Solução :

(a) se $k=0$

$$\int x e^{kx} dx = \int x (1) dx = \frac{x^2}{2} + C, C \in {\mathbb{R}}$$

se $k \neq 0$: integração por partes

$u = x$	$\Rightarrow$	$du = dx$
$dv = e^{kx} dx$	$\Rightarrow$	$$v = \frac{e^{kx}}{k}$$

implica

$$\int x e^{kx}dx = \frac{x e^{kx}}{k} - \int \frac{e^{kx}dx}{k} = \frac{x e^{kx}}{k} - \frac{e^{kx}}{k^2} + C, C \in {\mathbb{R}}$$

(b) substituição $u = 3t^2 + 6 \Rightarrow du/dt = 6t \Rightarrow du = 6 t \ dt$

$$\int \frac{t dt}{3t^2 + 6 } = \int \frac{du/6}{u} = \frac{1}{6} \... ...vert u\vert}{6} + C = \frac{\ln \vert 3t^2+ 6\vert}{6} + C, C \in {\mathbb{R}}$$