Decimais

Na sua origem, número é resultado dos processos de contagem ou de medida. Tais números precisam ter algum tipo de representação, para possibilitar as operações e as comparações. Para isso, cada civilização desenvolveu o seu sistema de numeração, criando diferentes sistemas numéricos.

Com a evolução da matemática, foi sistematizada a notação decimal usada para representar números. No século XVI, estas representações, com suas operações e propriedades, passaram a ser identificadas com o próprio número. A partir daí, não houve mais separação entre o conceito de grandeza e a sua representação simbólica.

O sistema numérico decimal é um sistema posicional de representação que parte algarismos 1 a 9 e cria outros números partir de adições e multiplicações que envolvem potências de 10 ou de 1/10.

Definição
Número decimal
é um número obtido a partir de adições e multiplicações que envolvem potências de 10 ou de 1/10.

Diferentes autores referem-se ao “número decimal” com diferentes expressões: “número na forma decimal”, “representação decimal do número”, “expansão decimal”. Consideramos que elas têm o mesmo significado, considerando a identificação entre o número e a sua representação..

Na nossa civilização, todo número obtido das medidas,
é representado no sistema numérico decimal.
Na evolução da matemática, as representações decimais dos números passaram ao status de número decimal:
o número passa a ser identificado com o símbolo usado para representá-lo.

Cabe então relacionar os dois conceitos aqui desenvolvidos: o conceito de número real (aquele que está relacionado com medidas) com o conceito de número decimal.

Nosso objetivo é mostrar que:

todo número real é representado por um número decimal e

todo número decimal corresponde a um número real.

Verificando que esta relação é válida, poderemos aceitar outra definição para número real: um número real é qualquer número representado na forma decimal.

Que todo número real é representado na forma decimal, é óbvio, pois o sistema numérico decimal é o sistema de representação historicamente definido para representar os números com os quais trabalhamos.

A dúvida é se qualquer número decimal que possamos imaginar corresponde à medida de algum segmento (pois esta é a definição inicialmente dada para número real).

É essencial que você estude o texto Sistema Numérico Decimal, que desenvolve o assunto.

Classificamos os números decimais em três formas:

-decimais finitos ou exatos;

-decimais infinitos e periódicos;

- decimais infinitos não periódicos.

O conjunto dos reais inclui dois tipos de números: os racionais e os irracionais.

Mostramos no texto Sistema Numérico Decimal que:

1. todo número racional é representado por um número decimal exato ou infinito e periódico;

2. reciprocamente, todo número decimal exato ou infinito e periódico representa um número racional.

Resta a pergunta:

Será que todo irracional é representado por um número decimal infinito não periódico e todo número decimal infinito não periódico representa um número irracional?

A primeira parte é óbvia, pois um irracional não pode ter representação decimal semelhante a dos racionais. Logo, todo irracional corresponde a um decimal infinito não periódico.

Conhecemos muitos números resultantes de medidas de segmentos incomensuráveis e, aplicando métodos aritméticos e geométricos de cálculo, verificamos que eles têm representação decimal infinita e não periódica. Pode-se observar um exemplo destes cálculos para raiz quadrada de 2 e para o cálculo de

, como foi desenvolvido por Arquimedes.

Finalmente, mostramos no texto Sistema Numérico Decimal que todo
número decimal infinito não periódico é um número irracional,
pois
corresponde à medida de algum segmento incomensurável com a unidade.

Resumindo:

Os números decimais apresentam-se em três formas: exato, infinito periódico e infinito não periódico.

Um número racional é um número representado por uma fração a/b de inteiros (b não nulo) que corresponde às medidas de segmentos comensuráveis.

Um número irracional é um número que não pode ser representado por uma fração a/b de inteiros, que corresponde às medidas de segmentos incomensuráveis.

Os números decimais exatos e infinitos periódicos correspondem aos números racionais e os infinitos não periódicos correspondem aos irracionais. Reciprocamente, todos racional é representado por um decimal exato ou por um decimal infinito periódico e todo irracional é representado por um decimal infinito não periódico.

Nesta lógica, pode-se aceitar uma outra definição para número real:

Como você obtém números reais? Medindo segmentos ou “inventando” números decimais.

Todo número real é representado por um número na forma decimal, e, reciprocamente, todo número decimal representa um número real.
Sendo assim, existe uma relação biunívoca entre a reta real e o conjunto dos números decimais.
A cada ponto da reta corresponde um e só um número decimal.

PENTEADO, Cristina. Concepções do professor do ensino médio relativas à densidade do conjunto dos números reais e suas relações frente a procedimentos para abordagens desta propriedade (pag. 13-30). Dissertação de Mestrado em educação Matemática. PUC-SP, 2004. Disponível em: http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687



	DOS REAIS AOS DECIMAIS Número é a sua representação Na sua origem, número é resultado dos processos de contagem ou de medida. Tais números precisam ter algum tipo de representação, para possibilitar as operações e as comparações. Para isso, cada civilização desenvolveu o seu sistema de numeração, criando diferentes sistemas numéricos. Com a evolução da matemática, foi sistematizada a notação decimal usada para representar números. No século XVI, estas representações, com suas operações e propriedades, passaram a ser identificadas com o próprio número. A partir daí, não houve mais separação entre o conceito de grandeza e a sua representação simbólica. O sistema numérico decimal é um sistema posicional de representação que parte algarismos 1 a 9 e cria outros números partir de adições e multiplicações que envolvem potências de 10 ou de 1/10. Definição Número decimal é um número obtido a partir de adições e multiplicações que envolvem potências de 10 ou de 1/10. Diferentes autores referem-se ao “número decimal” com diferentes expressões: “número na forma decimal”, “representação decimal do número”, “expansão decimal”. Consideramos que elas têm o mesmo significado, considerando a identificação entre o número e a sua representação.. Na nossa civilização, todo número obtido das medidas, é representado no sistema numérico decimal. Na evolução da matemática, as representações decimais dos números passaram ao status de número decimal: o número passa a ser identificado com o símbolo usado para representá-lo. Cabe então relacionar os dois conceitos aqui desenvolvidos: o conceito de número real (aquele que está relacionado com medidas) com o conceito de número decimal. Nosso objetivo é mostrar que: todo número real é representado por um número decimal e todo número decimal corresponde a um número real. Verificando que esta relação é válida, poderemos aceitar outra definição para número real: um número real é qualquer número representado na forma decimal. Que todo número real é representado na forma decimal, é óbvio, pois o sistema numérico decimal é o sistema de representação historicamente definido para representar os números com os quais trabalhamos. A dúvida é se qualquer número decimal que possamos imaginar corresponde à medida de algum segmento (pois esta é a definição inicialmente dada para número real). É essencial que você estude o texto Sistema Numérico Decimal, que desenvolve o assunto. Classificamos os números decimais em três formas: -decimais finitos ou exatos; -decimais infinitos e periódicos; - decimais infinitos não periódicos. O conjunto dos reais inclui dois tipos de números: os racionais e os irracionais. Mostramos no texto Sistema Numérico Decimal que: 1. todo número racional é representado por um número decimal exato ou infinito e periódico; 2. reciprocamente, todo número decimal exato ou infinito e periódico representa um número racional. Resta a pergunta: Será que todo irracional é representado por um número decimal infinito não periódico e todo número decimal infinito não periódico representa um número irracional? A primeira parte é óbvia, pois um irracional não pode ter representação decimal semelhante a dos racionais. Logo, todo irracional corresponde a um decimal infinito não periódico. Conhecemos muitos números resultantes de medidas de segmentos incomensuráveis e, aplicando métodos aritméticos e geométricos de cálculo, verificamos que eles têm representação decimal infinita e não periódica. Pode-se observar um exemplo destes cálculos para raiz quadrada de 2 e para o cálculo de , como foi desenvolvido por Arquimedes. Finalmente, mostramos no texto Sistema Numérico Decimal que todo número decimal infinito não periódico é um número irracional, pois corresponde à medida de algum segmento incomensurável com a unidade. Resumindo: Os números decimais apresentam-se em três formas: exato, infinito periódico e infinito não periódico. Um número racional é um número representado por uma fração a/b de inteiros (b não nulo) que corresponde às medidas de segmentos comensuráveis. Um número irracional é um número que não pode ser representado por uma fração a/b de inteiros, que corresponde às medidas de segmentos incomensuráveis. Os números decimais exatos e infinitos periódicos correspondem aos números racionais e os infinitos não periódicos correspondem aos irracionais. Reciprocamente, todos racional é representado por um decimal exato ou por um decimal infinito periódico e todo irracional é representado por um decimal infinito não periódico. Nesta lógica, pode-se aceitar uma outra definição para número real: Definição Um número real é qualquer número representado na forma decimal. Como você obtém números reais? Medindo segmentos ou “inventando” números decimais. Conclusões Todo número real é representado por um número na forma decimal, e, reciprocamente, todo número decimal representa um número real. Sendo assim, existe uma relação biunívoca entre a reta real e o conjunto dos números decimais. A cada ponto da reta corresponde um e só um número decimal. BIBLIOGRAFIA CERRI, Cristina. Desvendando os Números Reais. Mini-curso, Bienal de Matemática, 2006. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf DIAS, Marisa. Reta real: conceito imagem e conceito definição. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. PUC-SP,2002. Disponível em: www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_marisa_dias.pdf PENTEADO, Cristina. Concepções do professor do ensino médio relativas à densidade do conjunto dos números reais e suas relações frente a procedimentos para abordagens desta propriedade (pag. 13-30). Dissertação de Mestrado em educação Matemática. PUC-SP, 2004. Disponível em: http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687 Voltar

DOS REAIS AOS DECIMAIS