SISTEMA DECIMAL
1. Classificação dos números decimais
O sistema decimal é um sistema de numeração
de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para contar unidades, dezenas, centenas,
etc. da direita para a esquerda.
No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita
implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).
Número decimal é qualquer número
representado na forma decimal.
Definição
Número decimal
é um número obtido a partir de adições e multiplicações
que envolvem potências de 10 ou de 1/10.
Neste sistema, todos os números são obtidos
a partir de adições e multiplicações que envolvem
potências de 10 ou de 1/10.
De um modo geral, todo número decimal é representado por
somas (finitas ou infinitas) de termos que envolvem potências de
10 ou de 1/10:
Todo número decimal é representado pela
seqüência dos coeficientes:
A vírgula é utilizada ( no Brasil) como
um separador decimal (em alguns outros países, utiliza-se um ponto)
que indica o começo da parte menor do que a unidade. Após
a vírgula, cada dígito representa uma potência de
1/10. Os algarismos após a vírgula são denominados
“casas decimais”. Os algarismos anteriores à vírgula
formam a “parte inteira” do número.
Observe que, na soma acima, existem “pontinhos” após
a vírgula (...) indicando que o número de casas decimais
pode ser infinito.
Potências de 10
São potências que correspondem a sucessivas
multiplicações por 10, a partir da unidade:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
10n corresponde a n zeros após a unidade.
10n+1 = 10. 10n
Números decimais representados por uma seqüência finita
de potências de 10:
Exemplo:
Todo número inteiro apresenta-se na forma de somas finitas de potências de 10 e todo número desta forma representa um número inteiro.
Potências de 1/10
Correspondem a sucessivas multiplicações
por 1/10, a partir de 1/10:
Número decimal finito ou exato
Um número decimal é finito ou exato
(tem um número finito de dígitos), quando é representado
por uma soma com número finito de parcelas.
Exemplo:
5. 1/10 + 7. 1/10 = 0,5 + 0,07 = 0,57
Define-se uma fração decimal, como uma fração
cujo denominador é 10 ou potência de 10: 1/10; 5/100, 3/1000,
etc.
Existem frações que podem ser transformadas em frações
decimais,
pois os denominadores são divisores de 10, 100, 1000 ou outra potência,
como por exemplo: 1/25, 1/8, etc.
A decomposição em fatores primos dos denominadores contém
apenas os números 2 e/ou 5.
Exemplo:
5751/10 = 5751. 1/10 = 575,1
2/5 = 4/10 = 0,4
253/25 = 1012/100 = 1012/10² = 1,012
1/8 = 125/1000 = 125 / 10³
Todo números decimal finito representa uma fração
decimal (ou equivalente).
Toda fração decimal (ou equivalente) corresponde a um número
decimal finito.
Exemplo:
Números decimais obtidos pela soma infinita de potências de 1/10
Um número decimal pode ser uma soma infinita de
potências:
Nesse caso é representado por uma seqüência infinita
de coeficientes:
Número decimal periódico
Um número decimal infinito, eventualmente, pode ser periódico.
Um número decimal periódico apresenta, na sua parte fracionária, após um número finito de termos, um bloco de algarismos, não totalmente nulos, (chamado período) com a propriedade que, a partir dele, a seqüência de dígitos é constituída exclusivamente pela repetição sucessiva deste bloco. Um decimal periódico é também denominado “dízima periódica”.
Para alguns autores, um decimal exato é periódico,
com período zero:
Exemplo: 4 = 4, 00000
Neste texto, consideramos que o período é não nulo
e distinguimos decimais exatos de decimais periódicos.
O número de casas decimais do período pode ser qualquer
número inteiro positivo.
Exemplos:
1. Período com apenas uma casa decimal
2. Período com 3 casas decimais...
Costumamos denotar o período com uma barra superior:
Número decimal infinito e não periódico
Existem decimais infinitos não periódicos,
por exemplo:
0,101001000100001....
Este número também pode ser escrito como soma de potências de 1/10:
Observe que não há um bloco de algarismos que se repita, na parte fracionária do número. Não existe período.
Classificação
Os números decimais podem ser classificados
em três categorias:
1.finitos ou exatos
2.infinitos periódicos
3.infinitos não periódicos
Operações com decimais exatos
As frações decimais e os inteiros são
números racionais cuja representação na forma decimal
é exata.
Portanto, para definir as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão,
com decimais, é preciso que elas sejam compatíveis com as
operações já conhecidas, nos racionais.
É essencial que você estude o Texto: Operações
com Decimais
Após o estudo deste texto, sabemos que é possível
dividir números inteiros e obter como solução um
número decimal.
Exemplo:
Neste exemplo, observamos que o resultado é um número decimal infinito e periódico, e que o período se inicia quando o resto se repete.
Relações com números racionais
1.Todo número racional é representado por um decimal
exato ou periódico
Já sabemos que toda fração decimal
(ou equivalente a alguma fração decimal) corresponde a um
decimal exato. Uma fração qualquer, para ser transformada
numa fração decimal, necessariamente deve ter um denominador
que seja divisor de potências de 10.
Exemplo:
1/25 = 4/4.25 = 4/100 pois 25 é divisor de 100
Mas, muitas frações não têm esta propriedade:
Exemplos:
1/3 não é equivalente a uma fração decimal,
pois 3 não é divisor de nenhuma potência de 10.
Analogamente: 1/7; 1/13; 50/17 ; etc
Basta recorrer ao algoritmo da divisão de
números decimais, para perceber que, o resultado da divisão
de dois números inteiros p/q só pode ter dois resultados:
É exato , quando, em algum momento o resto é zero;
É infinito e periódico, se em nenhum momento o resto é
zero.
Neste caso, os valores do resto só podem ser 123...(q-1).
Por exemplo, em 1/13, os restos só podem variar entre 1 e 12 (veja
acima). Ou seja, certamente, vai haver alguma repetição
de algum algarismo. Neste momento, inicia-se o período.
Para um certo número 1/q, que não é equivalente a
uma fração decimal, o período tem no máximo
(q-1) dígitos.
É importante que você estude o texto Dízimas
Periódicas e Calculadoras, que ensina a calcular 1/n,
com várias casa decimais e com período longo, quando n é
um número grande. Isto é feito usando a calculadora. Por
exemplo, com este método, pode-se descobrir que o período
de 1/23 tem 21 casas decimais.
2.Todo número decimal exato ou periódico corresponde a um número racional
Para seguir adiante, no trabalho de relacionamento dos
decimais com os racionais, é essencial que você relembre
seus conhecimentos relativos a progressões geométricas,
no texto: Progressão
Geométrica.
Com este estudo, você poderá compreender a afirmação
seguinte:
A soma de uma PG de razão q = 1/10 corresponde
a um número decimal Infinito e periódico
Com esta informação, vê-se que a
PG de razão 1/10 corresponde a números decimais infinitos
periódicos com período de 1 dígito:
Exemplo
De acordo com a soma da PG, podemos escrever este número:
S = b + bq + bq² + bq³... = b/ (1-q)
=
= 7/9
Se o número tiver parte inteira, não há problema:
Exemplo:
Usando esta relação, podemos construir diferentes números
decimais periódicos e calcular a fração correspondente.
Exemplos:
0,1111..... = 1. 1/10 + 1. 1/102+ ..... = (1/10)/(1-1/10) = 1/9
0,2222.....= 2/9
0.3333... = 3/9 = 1/3
0,4444..... = 4/9 = 2/3
0,5555... = 5/9
0,6666...= 6/9 = 2/3
0,7777...= 7/9
0,8888...= 8/9
0,9999...= 9/9 = 1
Este último resultado conduz a outras igualdades:
0, 23999... = 0,24
1,999... = 2
O que nos leva a concluir que um mesmo número admite diferentes
representações decimais, assim como diferentes representações
fracionárias
Para pensar:
Com a soma da PG, provamos que:
1 = 0, 999.....
Você está convencido?
Um mesmo número admite diferentes representações
decimais, assim como diferentes representações fracionárias?
Você pode buscar mais detalhes nos seguintes
endereços ou nos textos associados:
http://pt.wikipedia.org/wiki/0,999...
http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/b4.pdf
ou no Texto 999.pdf
Se a PG tiver razão igual 1/100 = 1/10² ,
encontramos números decimais com período de 2 dígitos;
se a razão for 1/1000 = 1/10³ o período será
de 3 dígitos, e assim por diante.
Exemplo:
45,123123123... = 45 + 123/1.000 + 123/ 1.000² + .... = (123/1000)/
(1 – 1/1000) =
45 + 123/999 = 45.078/999 (verifique com a calculadora)
Você pode entender melhor o processo acompanhando o aplicativo:
Transformação de decimal periódico em fração
Conclusões
Revendo o que foi feito:
Associando racionais com divisão
de inteiros concluímos que todo número racional é
representado por um decimal exato ou periódico;
Associando os números decimais exatos com frações
decimais e os decimais periódicos com a soma de progressões
geométricas, concluímos que todo decimal exato ou periódico
corresponde a um número racional.
Relações com números irracionais
Das conclusões acima, vemos que, se um número
é irracional, só poderá ser representado por um decimal
infinito não periódico.
Resta verificar que todo número decimal infinito não periódico
corresponde a um número irracional. Ou seja, corresponde à
medida de algum segmento incomensurável com a unidade.
Para isto, vamos nos reportar à reta real.
A cada ponto P da reta, corresponde um segmento OP, cuja medida é
um número real, representado na reta pelo próprio ponto
P.
Consideremos um número decimal infinito e não periódico.
Existe algum ponto da reta que se identifica com este número?
A resposta é sim, como mostra Cerri (2006):
Invente uma representação decimal qualquer. Ela representa
um número real? Vamos ver um exemplo consideremos o decimal 0,1212212221...
Este é um decimal infinito e não periódico.
Existe um ponto Q da reta cujo número associado tem esta representação?
Vamos tentar responder.
Tome a seguinte seqüência de números:
0,1 ; 0,12 ; 0,121 ; 0,1212 ; 0,12122 ; 0,121221 ; 0,1212212 ; 0,12122122
; etc...
A seqüência é crescente e nunca ultrapassa 0,13.
Também não ultrapassa 0,122. Ou ainda não ultrapassa
0,1213 etc...
A diferença entre os termos vai ficando cada vez menor.
De fato, a diferença entre dois números consecutivos
é sempre menor que
Veja:
0,12 - 0,1=0,02
0,121 - 0,12=0,001
0,1212 - 0,121=0,0002, etc...
Nossa intuição nos diz que esta é uma seqüência
de números racionais que converge para um ponto da reta real que
corresponde a um número que só pode ser o número
representado por 0,121221222122221... com infinitas casas decimais!
O argumento que usamos pode ser repetido para toda e qualquer forma decimal
infinita que você inventar, mesmo que ela não tenha uma regularidade
(como é o caso do exemplo acima).
Conclusões
Todo número decimal infinito e não
periódico corresponde a um número irracional.
Todo irracional é representado por um número decimal infinito
e não periódico.
Exemplos:
É possível, então, relacionar os números decimais
com os racionais e irracionais:
1. 42 = 42,0 é número decimal finito portanto é racional;
2. 0,5 é um decimal finito portanto é racional;
3. 0, 343434... é um decimal infinito e periódico portanto
é racional;
4. 0,101001000100001..... é um decimal infinito não periódico,
portanto não é racional;
Conclusões
Finalmente, temos que a todo decimal, corresponde um real e a todo real corresponde um decimal, o que permite definir reais de outra forma.
Definição
Um número real é qualquer número representado na
forma decimal.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
O conjunto dos números racionais foi aumentado,
e temos agora o conjunto dos números reais. O
conjunto dos números reais, denotado por R, é a união
dos números racionais com os irracionais. Todo número real
é representado por um número decimal. Alguns são
redutíveis a frações outros não, os irracionais.
Podemos ainda operar com estes “novos” números como
fazemos com os racionais?
Como definir agora adição e multiplicação?
Penteado (2004) responde que não é fácil operar com
as representações decimais.
Veja esta soma:
1,13234567898765453236272618377...
+ 2, 98547893076453426374866845959987656...
4,11793.........................................................
Não há como conhecer todas as casas decimais de alguns números.
Contudo os matemáticos de fato provaram que no conjunto dos números
reais R, que corresponde ao conjunto de todos os decimais estão
definidas operações de adição e multiplicação
que estendem as de Q.
Também temos uma ordem nas mesmas condições.
Para definir operações em R que estendam as operações definidas em Q, uma idéia consiste em definir um número irracional como o limite de uma seqüência de números racionais. O resultado de operações sobre limites corresponde ao limite das operações sobre as seqüências.
Na prática, o resultado de operações com números irracionais é sempre representada por um número racional muito próximo. Os resultados são aproximados
DIAGRAMA
O conjunto dos números reais é formado pela
união dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.
GLOSSÁRIO
Recorrência
Sistema decimal
Número decimal
BIBLIOGRAFIA
CERRI, Cristina. Desvendando os Números Reais
(pdf). Mini-curso, Bienal de Matemática, 2006. Disponível
em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf
PENTEADO, Cristina. Concepções do professor do ensino médio
relativas à densidade do conjunto dos números reais e suas
relações frente a procedimentos para abordagens desta propriedade.
Dissertação de Mestrado em educação Matemática.
PUC-SP, 2004. Disponível em: http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687
