VINDA DE: Elisabeth Chan
PERGUNTA:
Como surgiram os logaritmos naturais ou neperianos? Como eu poderia motivar sua introdução aos meus alunos de segundo grau? Obrigada.

Prezada Elisabeth:

Vamos por partes:

1. O log que NAPIER inventou em 1614 era bastante diferente do log natural.

   O log de Napier tinha muitos inconvenientes e foi tornado obsoleto pelo próprio Napier que também, com Briggs em 1617, introduziu o log decimal.
   É errado, consequentemente, chamar o log natural de neperiano.

2. E quanto a origem do log natural?

   Os primeiros construtores de tabelas de logaritmos decimais ( log ) observaram que, sendo a uma constante:

   log ( 1 + x ) ~ a . x , se x ~ 0

   Como viram que essa aproximação poderia ser enormemente aproveitada na construção de suas tabelas, tiveram a feliz idéia de se perguntar o seguinte:
   Em qual base B o log base B, logB, torna a aproximação acima a mais simples possível? Isso é, para qual valor de B teremos

   logB ( 1 + x ) ~ x , se x ~ 0 ?

   O valor de tal B foi prontamente achado ( é o que, hoje, chamamos de constante de Euler e = 2. 718 281 ...) e o correspondente log foi inicialmente chamado de log hiperbólico e depois de log natural.

3. Por que log hiperbólico?

   Os dois primeiros matemáticos a estudarem teoricamente o ln ( log natural ), ST. VINCENT e DE SARASA em 1650, mostraram que ln r podia ser interpretado como a área do segmento do gráfico cartesiano da hiperbóle y = 1/x entre x=1 e x=r.

4. Por que o natural?

   Porque dentre os vários log o que tem fórmulas mais simples para calcular derivadas , integrais e etc é o log em base e. Isso é constatado facilmente por qualquer aluno ao estudar Cálculo Infinitesimal.
   A nível de segundo grau podemos dar a seguinte razâo para o "natural":

   • No contexto de variáveis contínuas, é muito mais fácil e natural - apesar das aparências - trabalharmos com e^x do que com 10^x
   • Ao fazermos essa opção de simplicidade automaticamente estamos fazendo a opção pelo log natural em vez do log decimal ( pois, conforme sabe todo aluno de segundo grau, logaritmação e exponenciação são operações inversas e , então, onde anda uma - quase sempre - aparece a outra ).

5. Por que afirmamos que é mais fácil trabalharmos com e^x do que com 10^x?

   Suponhamos que aplicamos um capital inicial de A reais a uma taxa de juros de 4 % ao mês. Qual será o capital A ( n ) acumulado em n meses?

   • se os juros forem calculados mensalmente ( processo discreto):
     
     A ( n ) = 1.04 ⁿ A

   • se os juros forem calculados continuamente (processo contínuo):
     
     A ( n ) = e^{0.04 n} A ou, de modo mais deselegante:
     
     A ( n ) = 10^{0.43429448 x 0.04 n} A

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