Mat01097- Seminário Integrador I - UFRGS

Exercícios de fixação: aplicações gráficas da noção de derivada

Nosso objetivo é ilustrar aplicações gráficas das noções de limite e derivada. O primeiro assunto é a equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ em um ponto $(x_0,f(x_0))$:

$$y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0)$$

que é obtida tomando limite nas inclinações de retas secantes em pontos $(x_0,f(x_0))$ e $(x_0+h, f(x_0+h))$, quando $h \rightarrow 0$. Na parte I desse estudo, problemas simples envolvendo equação de reta tangente, cúspides e não-diferenciabilidade são discutidos. Propomos ainda um problema de tangência a uma curva paramétrica.

Nessa parte II, queremos discutir problemas envolvendo retas normais (ou perpendiculares). A equação da reta normal ao gráfico de uma função $y=f(x)$ em pontos $(x_0,f(x_0))$, é dada por

$$y - f(x_0) = \frac{-1}{f'(x_0)} (x- x_0)$$

e é obtida a partir da equação da reta tangente, e relação de perpendicularidade entre retas. Dados os valores numéricos de um ponto $P(x_p,y_p)$ pelo qual esta reta deva passar, a correspondente equação algébrica

$$y_p - f(x_0) = f'(x_0) (x_p - x_0),$$

uma vez resolvida, permite encontrar os pontos $(x_0,f(x_0))$ onde a reta normal passa por $(x_p,y_p)$. Além de determinar a equação dessa(s) reta(s), podemos também calcular a menor distância entre o gráfico de $y=f(x)$ e o ponto $(x_p,y_p)$, avaliando a distância entre $(x_p,y_p)$ e o ponto $(x_0,f(x_0))$ adequado. Outra importante aplicação, que pode ser similarmente resolvida, é o cálculo da distância entre o gráfico de uma função e uma reta dada. Para discussão e exercitação, propomos problema 1, problema 2 e problema 3.

Problemas Propostos: entregue as soluções a seu professor na data combinada.

Problema 1. Faça um esboço do gráfico de $f(x) = x(x + 1)$ e nele represente o ponto $$P \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$$. Graficamente, quantas soluções tem o problema de encontrar a equação da reta que é tangente ao gráfico e que passa pelo ponto $P$ ? Encontre a(s) solução(ões) do problema, mostrando seu desenvolvimento matemático.

Problema 2. Faça um esboço do gráfico de $$g(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{2}$$ e nele represente o ponto $$Q(3,1)$$. Graficamente, quantas soluções tem o problema de encontrar a equação da reta que é tangente ao gráfico e que passa pelo ponto $Q$ ? Encontre a(s) solução(ões) do problema, mostrando seu desenvolvimento matemático. Por simplicidade, apresente os coeficientes da reta com 5 casas decimais.

Problema 3. Faça um esboço do gráfico de $h(x) = (2-x)(x+2)^2$ e nele represente o ponto $$R \left( \frac{4}{3}, 8 \right)$$. Graficamente, quantas soluções tem o problema de encontrar a equação da reta que é tangente ao gráfico e que passa pelo ponto $R$ ? Encontre a(s) solução(ões) do problema, mostrando seu desenvolvimento matemático. Por simplicidade, apresente os coeficientes da reta com 5 casas decimais.

Problema 4. Faça um esboço do gráfico de $f(x) = x(x + 1)$ e nele represente o ponto $$P(3,3)$$ . Graficamente, quantas soluções tem o problema de encontrar a equação da reta que é perpendicular ao gráfico e que passa pelo ponto $S$ ? Encontre a(s) solução(ões) do problema, mostrando seu desenvolvimento matemático.

Problema 5. Faça um esboço do gráfico de $$g(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{2}$$ e nele represente o ponto $$T \left( \frac{11}{4},\frac{1}{2}\right)$$. Graficamente, quantas soluções tem o problema de encontrar a equação da reta que é perpendicular ao gráfico e que passa pelo ponto $T$ ? Encontre a(s) solução(ões) do problema, mostrando seu desenvolvimento matemático. Por simplicidade, apresente os coeficientes da reta com 5 casas decimais.