Mat01097- Seminário Integrador I - UFRGS

Assunto: aplicações gráficas da noção de derivada

Exercício: Pede-se encontrar a equação da reta tangente à elipse de centro $C(2,3)$ e semieixos $a=2$, $b=1$, e que passa por $P(4,5)$.

Solução: lembramos que tal elipse pode ser parametrizada conforme o conjunto de equações

$$\left\{ \begin{array}{lr} x = & 2 + 2 \cos(t) \\ y = & 3 + \sin(t) \end{array} \right. , 0 \leq t \leq 2\pi$$.

Ainda, como aplicação da noção de derivada, ressaltamos que o vetor tangente $T(t)$, em qualquer ponto da elipse, é dado por

$$T = \left[ \begin{array}{l} x'(t) \ y'(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -2 \sin(t) \ \cos(t) \end{array} \right]$$

e assim podemos descrever a reta tangente em pontos $(x(t),y(t))$ da elipse, usando vetores no plano, como lugar geométrico dos (vetores)

$$\left[ \begin{array}{l} x \ y \end{array} \right] = \left[ \beg... ...in{array}{r} -2\sin(t) \ \cos(t) \end{array} \right] , \alpha \in {\mathbb{R}}$$

correspondentemente à representação paramétrica

$${\cal R}_t = \left\{ (x,y) = \left( 2 + 2 \cos(t) -2 \alpha \sin(t), 3 + \sin(t) + \alpha \cos(t) \right) , \alpha \in {\mathbb{R}}\right\}$$

para cada $t \in [0,2\pi]$ fixado.

Dessa forma, devemos calcular o(s) valor(es) do parâmetro $t$ tal que $(x,y)=(4,5)$, o que conduz, para $\alpha \in {\mathbb{R}}$, a

$$\left\{ \begin{array}{lr} 4 = 2 + 2 \cos(t) - 2 \alpha \sin(t) \\ 5 = 3 + \sin(t) + \alpha \cos(t) \end{array} \right.$$

e que resolvemos isolando $\alpha$ e igualando:

$$\frac{2(\cos(t)-1)}{2 \sin(t)} = \alpha = \frac{ 2 - \sin(t)}{\cos(t)} \Leftrightarrow 2 \sin(t) + \cos(t) = 1$$

Escrevendo $w = \sin(t)$, temos

$$\sqrt{1-w^2} = 1 - 2w \Rightarrow 1 - w^2 = 1 - 4w + 4 w^2 \Rightarrow w(5w - 4) = 0$$

e assim temos duas soluções correspondendo a $w=0$ e $w=4/5$, respectivamente.

Para $w=0$, temos $t=0$, e a solução é

$$\left[ \begin{array}{l} x \ y \end{array} \right] = \left[ \beg... ...left[ \begin{array}{r} -2(0) \ 1 \end{array} \right] , \alpha \in {\mathbb{R}}$$

que corresponde à reta vertical $x=4$. Para $w=4/5$, temos

$$\sin(t)=\frac{4}{5} \Rightarrow \vert\cos(t)\vert = \frac{3}{5}$$

mas então $2\sin(t)+\cos(t)=1$ implica $\cos(t) = -3/5$. Assim, $$\tan(t) = -\frac{4}{3} \Rightarrow t = \pi + atan\left(\frac{-4}{3} \right) \approx 2.2142974$$, e

$$\left[ \begin{array}{l} x \ y \end{array} \right] = \left[ \beg... ... \begin{array}{r} -2(4/5) \ -3/5 \end{array} \right] , \alpha \in {\mathbb{R}}$$

que corresponde à reta, na forma vetorial,

$$\left[ \begin{array}{l} x \ y \end{array} \right] = \left[ \begi... ...ft[ \begin{array}{r} -1.6 \ -0.6 \end{array} \right] , \alpha \in {\mathbb{R}}$$

ou ainda, na forma paramétrica:

$$\left\{ (x,y)=(0.8 - 1.6 \alpha,3.8 - 0.6 \alpha), \alpha \in {\mathbb{R}}\right\}$$.