Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Segunda Verificação : Fila B - 2004/1
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Questão 1. (2.5 pontos) Calcule

(a) $$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x)^{\frac{5}{1-x}}$$

(b) $$\int x^3 \ln(x) dx$$

(c) $$\int (4x+3)^{-15} dx$$

Questão 2. (2.0 pontos) Dada a função

$$f(x) = \frac{e^x}{(x-3)^2}$$ .

(a) Determine os intervalos onde o gráfico de $f$ é crescente e os intervalos onde o gráfico de $f$ é decrescente.

(b) Verifique se o gráfico de $f$ possui assíntotas horizontais. Em caso afirmativo, determine a equação de cada uma delas.

Questão 3. (2.0 pontos) Considere a função

$$f(x) = -7 + 5x + 5 \cos(x) , 0 \leq x \leq 2 \pi$$.

(a) Determine os máximos e os mínimos absolutos de $f$ em $[0,2\pi]$.

(b) Determine todos os pontos de inflexão de $f$ em $[0,2\pi]$. Justifique.

Questão 4. (1.5 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = arc tg(7x)$ em $x = 1/7$.

Questão 5. (1.0 pontos) Seja $f$ uma função derivável em ${\mathbb{R}}$ e $g(x) = 2 f^3(x) - 6$. Sabendo que

$$f'(x) < 0 \ \mbox{em} \ (2,+\infty) \ , \ f'(x) > 0 \ \mbox{em} \ (-\infty,2)$$

$$f(2) = 2 \ , \ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = - \infty \ , \ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 1$$.

(a) Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento do gráfico de $g$;

(b) esboçe um possível gráfico de $g$.

Questão 6. (1.5 pontos) Um terreno com área de $360 m^2$ deve ser cercado. As paredes de um prédio já construído, no terreno vizinho, serão aproveitadas segundo desenho abaixo. Determine as dimensões do terreno que minimizam a quantidade de cerca usada.