Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Exame Geral - 2003/2
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Questão 1. (2.0 pontos) Calcule

(a) Determine a equação da reta tangente à curva de equação $x \cos(\pi y) + 2y - 1 = 0$ no ponto $(1,1)$.

(b) Determine, se existir, um valor positivo para $a \in {\mathbb{R}}$ que torna a função

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x + 1, & x \leq a \\ \frac{3}{x} + \frac{1}{2}, & x > a \end{array}\right.$$

contínua em $x=a$. Justifique sua resposta.

Questão 2. (1.5 pontos) Calcule DUAS das três integrais abaixo. Indique claramente quais deverão ser corrigidas.

(a) $$\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

(b) $$\int \frac{9 dx}{x(x^2 - 9)}$$

(c) $$\int 2 x \cos(x) dx$$

Questão 3. (1.5 pontos)

(a) Determine a área da região limitada pela curva $y = \sqrt{x}$ e pelas retas $x = 4$ e $y = -x/4$.

(b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo $X$ da região que está hachurada no gráfico da elipse ao lado (abaixo).

Questão 4. (1.5 pontos) Esboçe o gráfico de uma função contínua $y = f(x)$ que satisfaça TODAS as condições abaixo:

1. $f(0) = 0$ e $f(1) = 2$,
2. $f'(-1) = 0 = f'(1)$,
3. $f'(x) > 0$ se $x \in (-1,1)$ e $f'(x) < 0$ se $x \in (-\infty,-1) \bigcup (1,+\infty)$,
4. $f''(x) > 0$ se $x \in (-2,0) \bigcup (2,+\infty)$ e $f''(x) < 0$ se $x \in (-\infty,-2) \bigcup (0,2)$,
5. $f(-x) = -f(x)$,
6. $y = 0$ é a sua assíntota horizontal.

Questão 5. (1.5 pontos) Resolva DUAS das três questões abaixo. Indique claramente quais deverão ser corrigidas.

(a) Calcule $$\lim_{x \rightarrow +\infty} x \mbox{sen} \, \left( \frac{1}{x} \right)$$

(b) Calcule $$\int_1^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx.$$

(c) Calcule $$\frac{dF}{dx}(x)$$, onde $$F(x) = \int_0^{x^3} \frac{t-1}{t+1}dt$$.

Questão 6.(2.0 pontos)

(a) Determine a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um círculo de área $4\pi$. Justifique sua resposta, mostrando que realmente temos um máximo absoluto no intervalo apropriado.

(b) Uma prancha de 10m está apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, a sua base está afastada 6 metros da parede e a base está sendo empurrada em direção à parede a uma taxa de $2 m/s$, qual é a taxa de variação instantânea do ângulo agudo que a prancha faz com o solo neste instante ? (Deixe a resposta em rad/s) O ângulo está crescendo ou decrescendo nesse instante ?