Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Exame Geral - 2003/1
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Questão 1. (1.0 ponto) Calcule

(a) $$\frac{dy}{dx}$$, sendo $y = e^{x^3+x^2} \cdot \cos(2x)$.

(b) $$\frac{dy}{dx}$$, sendo $x^2 - y^2 = 2x \ln(y)$.

Questão 2. (1.5 pontos) Calcule as três integrais abaixo:

(a) $$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{9-x^2}}$$

(b) $$\int \frac{-x^2+3x+16}{x(x-4)^2} dx$$

(c) $$\int \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} dx$$

Questão 3. (2.0 pontos) Seja $R$ a região hachurada ao lado (abaixo), limitada pelo gráfico de $x=4-y^2$ e $x=3$.

(a) Calcule a área de $R$.

(b) Escreva (não calcule) a integral quqe expressa o volume do sólido obtido quando rodamos a região $R$ em torno do eixo $y$.

Questão 4. (2.0 pontos)

(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $$f(x) = \frac{x^2+3}{x^2-2}$$ no ponto de abscissa $1$.

(b) Considere a cônica de equação $9x^2 + 4y^2 - 36x - 8y + 4 = 0$. Determine sua equação canônica, seus elementos principais (focos, vértices,...) e classifique-a.

Questão 5. (1.5 pontos)

Uma área retangular com $216 m^2$ será cercada e dividida em duas partes iguais por uma cerca paralela a um de seus lados. Quais as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor quantidade total de cerca ? Quantos metros de cerca serão necessários ?

Questão 6. (2.0 pontos) Dada a função $$f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$$, determine:

(a) o domínio de $f$,

(b) os intervalos de crescimento e os de decrescimento de $f$,

(c) os pontos de máximo ou mínimo local de $f$, caso existam,

(d) as assíntotas horizontais e as verticais, caso existam.