1.- O valor dos problemas na Matemática
A Matemática é a única ciência onde pouco valor se dá à erudição.
O valor de um matemático é avaliado não pelo que ele sabe mas por sua
capacidade de resolver problemas.
E não é para menos: a Matemática vive de problemas.
Infelizmente, a retórica da Resolução de Problemas virou um dos modismos
do Sistema Escolar nos últimos
anos. O resultado é o de se esperar: os oportunistas de plantão e os
ingênuos despreparados conseguiram deturpar de tal modo o assunto que hoje
podemos encontrar as atividades mais ridículas rotuladas como resolução
de problemas matemáticos. Assim, que é necessário ouvirmos quem tem o
real direito de falar sobre o assunto: os matemáticos produtores, os
cientistas e técnicos usuários de matemática.
2.- Mas, e o que é um problema matemático?
Um problema matemático é
toda situação requerendo a descoberta
de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta
resolvé-lo, e/ou a invenção de uma
demonstração de um resultado matemático dado.
O fundamental é
que o resolvedor tenha de inventar estratégias e criar idéias; ou
seja: pode até ocorrer que o resolvedor conheça o objetivo a chegar, mas
só estará enfrentando um problema se ele ainda
não tem os meios para atingir tal objetivo.
Resnick apontou várias características dos problemas que, bastante modificadas,
resumimos assim:
- sem algoritmização:
o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em boa parte
- complexos
precisam de vários pontos de vista
- exigentes
a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho possa
ser curto, ele tende a ser difícil
- exigem lucidêz e paciência
para na aparente desordem vermos as regularidades, os padrões que permitirão
a construção do caminho até a solução
- nebulosos
pode ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam aparentes; por
outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as condições estabelecidas
pelo problema
- não há resposta única
além de normalmente ocorrer de existirem várias maneiras de se resolver um dado
problema, pode ocorrer de não existir uma melhor solução e até de não
existir solução;
ao contrário do que a Escola ensina:
resolver um problema não é o mesmo que achar "a" resposta
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3.- A diferença entre problema e exercício
O exercício é uma atividade de adestramento
no uso de alguma habilidade / conhecimento matemático já conhecido pelo
resolvedor, como a aplicação
de um algorítmo CONHECIDO, de uma fórmula CONHECIDA, etc. O exercício
envolve mera aplicação e o problema necessariamente envolve invenção ou/e
criação significativa.
Exemplificando:
Tomemos como "resolvedor" um aluno de final do primeiro grau
( é importante apontar a pessoa, pois o que pode ser um
problema para uma pessoa, pode não o ser para outra ):
- exercício:
resolver a equação x 2 - 3x + 1 = 0
( supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de Bhaskara )
- problema:
provar a fórmula de Bhaskara ( supõe-se que tal
aluno nunca tenha visto tal demonstração, mas conheça a fórmula )
- problema: ( mais difícil )
descobrir, provando, uma fórmula para resolver
toda e qualquer equação algébrica do segundo grau ( supõe-se que tal aluno
não conheça a fórmula de Bhaskara )
- problema: ( mais difícil )
descobrir uma fórmula diferente da de Bhaskara e capaz de resolver toda
e qualquer equação algébrica do segundo grau
4.- O que é um bom problema?
Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto elementares a inclusão
de desafios matemáticos dirigidos ao leitor. Tipicamente não correspondem
diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se de
problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-los como charadas ou
quebra-cabeças, do tipo que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e
que visam mais o entretenimento. Um bom problema matemático além de
representar um desafio, tanto ao poder dos matemáticos como ao poder da
disciplina por eles criada, também "mexe" com
a Matemática: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que
possamos resolver outros problemas. Um bom
problema de matemática é muito
mais do que uma charada.
Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat:
Sendo n = 3, 4, 5, ...,
mostrar que NAO HA' nenhuma trinca de inteiros
positivos x, y e
z verificando a equação:
x n + y n = z n
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enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse problema precisou de
quase 400 anos de esforços até ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua
grandeza não está na dificuldade e também não está na utilidade desse
resultado ( que é praticamente inexistente ); ela está no fato que as
tentativas de resolvê-lo produziram idéias e problemas que fertilizam
inúmeros campos: Teoria dos Números, Geometria Algébrica, etc.
TESTE SEU ENTENDIMENTO DESTE TEXTO:
TESTE
Duas atividades matemáticas muito diferentes são a invenção de algoritmos e
a aplicação de algoritmos. Pede-se:
- classificá-las como problema ou exercício
- achar exemplos dessas atividades no texto acima
TESTE
George Polya é autor dos mais famosos livros sobre resolução de problemas
matemáticos, entre eles o How to Solve It. O texto abaixo é uma
ligeira modificação de uma frase de Polya; pede-se uma palavra que se
encaixe adequadamente no vazio assinalado com um ......... :
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se a tarefa desperta sua curiosidade, e e' um desafio para sua ...........
e se V. a realiza por seus próprios meios então V. pode dizer que sentiu
o prazer de resolver um problema
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TESTE
A partir do que foi colocado neste texto, explique a razão de ocorrer que
o que seja um problema para uma pessoa possa não ser para outra.
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