Polinômios de Legendre - parte 2
O propósito aqui é dar prosseguimento à exposição da teoria dos polinômios de Legendre, iniciada na parte 1.Fórmula de Recorrência.
Dem:
Na demonstração vamos novamente usar a função geradora.LogoSegue queMultiplicando, obtém-se
ou seja,
Agrupando os termos, obtemos, finalmente,Igualando a 0 o coeficiemte de cada segue a conclusão.
Obs: Conhecendo 2 polinômios de Legendre consecutivos, a fórmula de recorrência nos permite calcular o próximo. Por exemplo, vimos acima que
e .
Fazendo na fórmula de recorrência, vamos obter
.
Tendo agora as expressões de e , usando novamente a fórmula de recorrência, podemos obter , e assim por diante.
Desenvolvimento em Série de Fourier-Legendre.
Vimos na parte 1 que forma um sistema ortogonal no intervalo . Usando este fato, dada uma função de classe por partes, vamos querer expandi-la como(série de Fourier-Legendre) .Como em qualquer expansão em série de funções ortogonais, os coeficientes são dados por
Exemplo: Expandir em série de Fourier-Legendre a função , .
Como é uma função par, , pois, sendo ímpar e par, segue que é ímpar e, portanto, . AnalogamenteMas da fórmula de recorrência segue queIntegrando, temosMas acima, como aplicação da função geradora, obtivemosUsando este fato, obtém-se
de onde segueou seja,Calculamos separado,eObtemos, assim, a expansãoPara ilustrar a representação acima, vejamos os gráficos de algumas das somas parciais da série construídos usando o maple.Começamos carregando o pacote de polionômios ortogonais.
> with(orthopoly);
Definimos a soma parcial levando em conta que
> S:=(n,x)->1/2+5/8*P(2,x)+
Abaixo construímos algumas somas parciais, mostrando seus gráficos junto com a própria função.
sum((-1)^(k-1)*(2*k-2)!/((k+1)!*2^(k+1)*(k-1)!*2^(k-1))*(4*k+1)*P(2*k,x),k=2..n);
> S(2,x);
> S(3,x);
> plot([S(2,x),S(3,x),abs(x)], x=-1..1,color=[red,blue,black],scaling=CONSTRAINED);
> S(5,x);
> evalf(S(5,x));
> sort(evalf(S(6,x)));
> plot([S(5,x),S(6,x),abs(x)],x=-1..1,color=[red,blue,black],scaling=CONSTRAINED);
Aplicações
1. Potencial Gerado por uma Carga Pontual fora da Origem
Vamos dar uma aplicação concreta da função geradora dos polinômios de Legendre. Consideremos uma carga no ponto .
O potencial no ponto , gerado pela carga , valeNa região , valeUsando a função geradora dos polinômios de Legendre temos
seNa região vale
e, portanto,se
2. Potencial do Dipolo
Suponhamos que temos cargas nos pontos . Usando a fórmula acima, o potencial longe do dipolo será dado porBem afastado do dipolo, para , só o primeiro termo da série já dá uma boa aproximaçãoou,onde é chamado de momento do dipolo. Esta última aproximação é muito usada em Física.
Eduardo H. M. Brietzke