Geometria

Bissetriz - Reta(ou semi-reta) que divide um ângulo ao meio.

Circunferência - Conjunto dos pontos de um plano equidistantes de um ponto dado. Este ponto chama-se centro e a distância entre ele e os pontos da circunferência é o raio.

Coeficiente angular da reta (declive, declividade, inclinação) -Determina a declividade da reta. Na equação reduzida da reta é o coeficiente do x. Para m > 0 a reta é crescente e para m < 0 a reta é decrescente. Para m = 0 dizemos que a reta é constante (ou horizontal).

Coeficiente linear da reta - Determina a interseção da reta com o eixo das ordenadas.

Cônicas - Curvas geradas na interseção de um plano que atravessa um cone. Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que podem ser obtidos por esse processo: Elipse, Parábola e Hipérbole.

Elipse

Parábola

Hipérbole

Fonte: WIKIPEDIA (http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica - acessado em julho de 2008)

Coordenadas de um ponto - Um ponto do plano de coordenadas cartesianas (abscissa-x e ordenada-y) é representado analiticamente pelo par ordenado (x, y). Na figura abaixo, temos a representação no plano de um ponto de coordenadas (a, b).

Observações:
1) O ponto (0, 0) é chamado de Origem do Sistema Cartesiano.
2) Um ponto sobre o eixo x possui ordenada nula: (x, 0).
3) Um ponto sobre o eixo y possui abscissa nula: (0, y).

Coordenadas polares - Além do sistema cartesiano, outro sistema importante é o sistema de coordenadas polares. As coordenadas são determinadas por uma distância r e um ângulo q, conforme a figura abaixo.

Vejamos alguns exemplos de curvas em coordenadas polares.

Circunferência de raio a:
r = a

Cardióide:
r = 1 + sen q

Limaçon:
r = 3-2.cos q

Limaçon com loop:
r = 1+2.cos q

Espiral de Arquimedes:
r = q

Pétalas:
r = [cos (mq) + 4 cos (nq)] / cos q,
para (m, n) = (5, 3), (3, 5), (9, 1), (2, 3)

Lemniscata: r² = 4 cos 2q Espiral logarítmica:
Borboleta do Dr. Fay:

Coroa circular - Região determinada por pontos que estão entre duas circunferências concêntricas.

Disco - Região interior a uma circunferência.

Elipse - Seja uma elipse com centro (a, b) e eixos 2p e 2q.

A equação será:

Os pontos F1 e F2 são chamados de focos da elipse. Um ponto qualquer da elipse P(x, y) é tal que

PF1 + PF2 = 2a

Equação geral da circunferência - É a expansão da equação reduzida com o 2° membro anulado, isto é, Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, com A = B (não nulos) e sem o termo misto xy.

Equação geral da reta - Para a, b e c reais e x e y coordenadas de um ponto genérico da reta, temos que a equação geral da reta é

ax + by + c = 0.

Equação paramétrica da reta - As coordenadas x e y de cada ponto da reta estão em função de um terceira variável t, chamada parâmetro.

Equação reduzida da reta - Expressa y em função de x.

Equação reduzida da circunferência - Dada uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, a equação reduzida será (x - a)² + (y - b)² = r²

Equação segmentária da reta - Indica as interseções da reta com os eixos.

Hipérbole - Seja uma hipérbole com centro (a, b) e eixos 2p (real) e 2q (imaginário).

A equação será:

Os pontos F1 e F2 são chamados de focos da hipérbole. Um ponto qualquer da hipérbole P(x, y) é tal que

|PF1 - PF2| = 2a

Inequações - Expressões algébricas que fazem uso de desigualdades como >, < etc.

Origem do sistema cartesiano - Ponto de coordenadas (0, 0).

Parábola - Para se construir parábolas com eixos de simetrias paralelos aos eixos pode-se utilizar as equações

y = ax² + bx + c, para eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas e a, b, c reais.
x = ay² + by + c, para eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas e a, b, c reais.   

Entretanto, uma parábola possui propriedades geométricas importantes que são melhor visualizadas em equações com outros formatos. Analisemos a figura abaixo:

O parâmetro p é a distância entre o foco e a reta diretriz da parábola. Esta distância determina  um segmento cujo ponto médio é o vértice da parábola. Um ponto qualquer (x, y) da parábola é equidistante do foco e da reta diretriz. No caso da figura acima, em que o eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas e que o vértice possui coordenadas (a, b), temos a seguinte equação:

(x - a)² = 2p (y - b)

Posições relativas entre circunferências - Duas ou mais circunferências podem ser, de acordo com as figuras abaixo,

Exteriores

Secantes

Tangentes exteriormente

Internas

(ao centro: concêntricas; à direita: tangentes interiormente)

Posições relativas entre ponto e circunferência - Em relação a uma circunferência, um ponto pode pertencer a ela ou ser interior ou exterior, conforme figura abaixo.

Posições relativas entre reta e circunferência - Em relação a uma circunferência, uma reta pode ser Secante, Tangente ou Exterior, conforme figura abaixo.

Quadrante - Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares chamadas quadrantes (ver figura em Coordenadas de um ponto).

Reta - Analiticamente, a reta é representada por uma equação linear, estabelecendo uma relação entre as coordenadas dos pontos dessa reta. As maneiras mais comuns de se apresentar a equação de uma reta são as seguintes: Equação Geral; Equação Reduzida; Equação Paramétrica e Equação Segmentária.

Retas coincidentes - Infinitos pontos comuns. Equações iguais.

Retas concorrentes - Um único ponto comum. Coeficientes angulares diferentes.

Retas paralelas - Nenhum ponto comum. Coeficientes angulares iguais.

Retas perpendiculares - Caso particular de concorrência. Dadas duas retas concorrentes de coeficientes angulares m1 e m2, se m1 = - (1/m2) então as retas são perpendiculares.

Segmento de reta - Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.

Setor circular - Região de um disco determinada por um arco ou ângulo.

 

Material Consultado

1. DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José N. Geometria Plana. Fundamentos de Matemática Elementar (Número 9). 7 ª edição. Editora Atual. São Paulo. 1998.

2. IEZZI, Gelson. Geometria Analítica. Fundamentos de Matemática Elementar (Número 7). 5ª edição. Editora Atual. São Paulo. 2005.

3. MENEZES, Maria Fernanda R. Matemática Elementar II. Curso de Licenciatura em Matemática. Cadernos de Matemática e Estatística. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Série B. Número 47. Porto Alegre. 1999.