Operações

Soma

     
O número complexo Z + W é obtido somando-se as partes reais e imaginárias de Z = a + bi e W = c + di. Isto é:

Z + W = (a + c) + (b + d)i.
   

A soma pode ser interpretada geometricamente:

Z + W é o extremo da diagonal do paralelogramo formado com Z e W, conforme ilustra a animação. Para saber mais, assista vídeo.
     
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Movimentando os números complexos Z e W localize:


W sendo Z= 4+i e (Z + W) = 6+4i.

(Z + W) = 3+3i, sendo Z e W em pelo menos três situações diferentes.

(Z + W) = 4, sendo Z e W em pelo menos três situações diferente.

(Z + W) = 0, sendo Z e W em pelo menos três situações diferentes.

(Z + W) = 2i, sendo Z e W em pelo menos três situações diferentes.

(Z + W) com módulo igual a 5, sendo Z e W em pelo menos três situações diferentes.
Para ver os valores de Z, W, Z + W e os detalhes marque as caixas correspondentes.
     

 

Multiplicação

   
Na Introdução vimos que ao multiplicar o número complexo W = a + bi pelo número complexo Z = i, o número resultante Z·W corresponde a rotação de W de 90 graus no sentido no sentido anti-horário. Ou seja: imagem
Z·W = i·(a + bi) = -b + ai

Em particular temos que Z·Z = i·i = -1

Mais geralmente, se Z = a + bi e W = c + di e usando que i·i = - 1 temos que:
Z · W = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²
Z · W = (ac - bd) + (ad + bc)i
 
Outra forma de multiplicar números complexos é usando a representação trigonométrica. Se Z = r(cos θ + isen θ) e W = u(cos β + isen β) então:
Z·W = r·q[cos (θ + β) + isen (θ + β)]

Ou seja, na representação trigonométrica, o módulo de Z·W é o produto dos módulos de Z e W , e o argumento de Z · W é a soma dos argumentos de Z e W. Para saber mais veja o vídeo.
     

Algébrica

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    Para Pensar! Movimentando os números complexos Z e W localize:

Z·W sendo Z = 2 + i e W = 2.

Z·W sendo Z = 2 + i e W um número real. Que tipo de figura formam os números complexos Z·W.

Z·W sendo Z = 2 + i e W = i.

Z·W sendo Z = 2 + i e W um número imaginário. Que tipo de figura formam os números complexos Z·W?

Z·W sendo Z = (2 + 2 i) ou (2 + 3 i) ou (2 + 4 i) e w = i . Que tipo de figura formam os números complexos Z·W?

Z = i²       Z = i³        Z =         Z =         Z =         Z =

Z = 2+ 3 i e W = i e calcule o ângulo entre o segmento dado por O e Z e o segmento dado por O e Z·W

Z = 2+ 2 i e W = 1+i e calcule o ângulo entre o segmento dado por O e Z e o segmento dado por O e Z·W .

Z = 2+ 2 i e W = -1+i e calcule o ângulo entre o segmento dado por O e Z e o segmento dado por O e Z·W.
Para ver os valores de Z, W, Z·W e os detalhes marque as caixas correspondentes.
   
     
     
   
   

Trigonométrica      
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Z·W sendo Z = ·(cos 45º + i·sen 45º) e W = 2.

Z·W sendo Z = 2·(cos 45º + i·sen 45º) e |W|= 1. Que tipo de figura formam os números complexos Z·W.

Z·W sendo Z = 2 + i e W = i.

Z·W sendo Z = 2·(cos 45º + i·sen 45º) e |W|= 2. Que tipo de figura formam os números complexos Z·W?

Z·W = r·(cos 90º + i·sen 90º) sendo Z e W em pelo menos em três situações diferentes.

Z·W = 2 (cos 135º + i sen 135º) sendo Z e W em pelo menos em três situações diferentes.

Z·W tal que |Z·W| =1 , sendo Z e W em três situações diferentes
Para ver os detalhes marque a caixa correspondente.
   
   

 

Divisão

     
Para chegarmos à divisão de dois números complexos seguimos a lógica de operação inversa da multiplicação. Se na multiplicação de dois complexos multiplicamos os módulos e somamos os argumentos na divisão faremos o inverso, ou seja, definimos a divisão de dois complexos como:

Seja Z = r(cos θ + isen θ) e W = u(cos β + isen β) então:

= (cos (θ - β) + isen (θ - β))
     
 
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Como deve ser os argumentos de Z e W para que seja real?

Como deve ser os argumentos de Z e W para que seja imaginário puro?

Como deve ser os argumentos de Z e W para que se encontre no primeiro quadrante?

Como deve ser os argumentos de Z e W para que se encontre no segundo quadrante?

Como deve ser os argumentos de Z e W para que se encontre no terceiro quadrante?

Como deve ser os argumentos de Z e W para que se encontre no quarto quadrante?

Qual o módulo de quando o módulo W é maior que 1 e:

a) |Z| > 1    b) |Z| = 1    c) |Z| < 1

Explique como fica o complexo inverso de Z, ou seja, o resultado da divisão 1/z onde z é um complexo qualquer da forma Z = a + bi.
Para ver os detalhes marque a caixa correspondente.