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Calculando com zero: elevando um número na zero



Temos dois tipos de cálculo de potência zero de um número:

  • n0, com n não zero
  • 0 0
No que segue, abordaremos essas duas situações.


Cálculo de n0, com n número não nulo



Este caso é facil.
Sendo n não nulo, o significado de na só é duvidoso quando a=0 . Ora, se quizermos atribuir um significado a n0 é essencial que isso seja feito de modo a CONTINUAR valendo a lei fundamental:

na + b = na nb


Daí, fazendo a=0 e tomando qualquer b NAO nulo, temos:

nb = n0 + b = n0 nb


mas, como nesta parte estamos considerando n não nulo e b tambem não nulo, segue que também nb não é nulo e então pode ser simplificado, do que resulta: 1 = n0
De modo que se ve que TEMOS de DEFINIR n0 = 1 ( nos casos n não nulo ) para que continue valendo a lei fundamental.

Como exemplo da conveniência de tal definição:
AGORA, podemos tomar a e b positivos, nulos ou negativos. Assim tomando b=-a, ficamos com:

1 = n0 = na - a = na n -a,

de onde tiramos que n -a = 1/ na.

RESUMINDO:
sendo n número não nulo, há vantagens em definir  n0 = 1,
dizemos que e' uma   convenção justificada pelo cálculo.



Calculo de 0 0



Este caso é de natureza polêmica, controvertida. Com efeito:

  • poderiamos ver 00 como vindo de n0 = 1 ( para n não nulo ) ao forçarmos n=0, o que nos levaria a considerar como natural definir 00 = 1
  • por outro lado, podemos tambem ver 00 como vindo de 0n = 0 ( para n não nulo ) e então TAMBEM seria natural achar que 00 = 0.
Qual a melhor escolha? Definir 00 = 1 ou 00 = 0? Ou, talvez, considerar como indeterminado o valor de 00 ?

A polêmica do valor de 00 percorreu vários séculos, desafiando matemáticos de enorme talento como Euler, Cauchy, etc. Curiosamente nenhum desses dois grandes matemáticos deu uma resposta satisfatória. E' um exemplo onde talentos menores, mas mais persistentes, lograram melhores resultados.

No que segue resumirei a longa discussão deste caso dizendo que:

Não podemos dar uma resposta universalmente válida para 00.
NORMALMENTE / USUALMENTE é mais conveniente definirmos 00 = 1 ,
mas há situações onde o melhor é considerá-lo como um cálculo indeterminado ( =sem resultado ).


Examinaremos dois cenários importantes de ocorrência de 00:

Cenário 1:
No uso de identidades ( como binômio de Newton, fórmulas de Combinatória, somatórios, etc ) normalmente o melhor a fazer é adotar 00 = 1

Vejamos razões para isso:

  1. um dos resultados mais úteis da MAT é o binômio de Newton

    (x+y)p = xp . y0 + p xp-1 . y + .... + x0 . yp

    e, assim, e' extremamente conveniente permitirmos seu uso nos casos mais diversos possíveis, em particular no caso 00. Ora, para p=0 o binômio fica: (x+y)p = (x+y)0 = x0 y0   Daí, fazendo x=r e y=-r, com r não nulo, temos que:

    00 = (r)0 (-r)0 = 1 . 1 = 1

    Ou seja, vemos que estender o binômio de Newton para o caso n=0 implica em aceitar que 00 = 1. Como comprovação de que essa e' uma boa idéia, tomando x=y=0, temos:
    00 = (0+0)0 = 00 00 = 1.

  2. a maioria das OUTRAS razões trabalham, explícita ou implicitamente, com o conjunto vazio. Dou so' um exemplo: seja o clássico problema combinatorial de enumerar as maneiras de arranjarmos n objetos em blocos de tamanho p ( aceita-se repetição).
    Por exemplo: os 3 objetos a,b,c podem ser arranjados em 2-blocos das seguintes maneiras: aa, ba, ca, ab, bb, cb, ac, bc, cc; o total de tais 2-blocos e' 32 = 9.
    No caso geral: ha' np maneiras de arranjar n objetos em p-blocos ( a chamada fórmula dos arranjos repetidos ). Como fica isso se pedirmos blocos de tamanho nulo ( os chamados arranjos de classe nula ) ? Pela fórmula: n0 = 1. Qual o significado disso? Voltemos ao exemplo concreto n=3, p=2. Nesse exemplo o 32 = 9 = (quantidade de elementos do conjunto dos 2-blocos) = quantidade de elementos do conjunto {aa,ba,ca,ab,bb,cb,ac,bc,cc}. E no caso de p=0 ? Agora, só há um 0-bloco: o conjunto vazio, de modo que o CONJUNTO dos 0-blocos é { conjunto vazio }, ou seja é o conjunto que tem como único elemento o conjunto vazio, logo seu cardinal é um ( e não zero, como alguém poderia achar!). Em termos mais prosaicos: há UMA e só uma maneira de escrevermos os 0-blocos: nao escolhendo nada. A mesma explicação e resultado continua valendo mesmo que também n=0.

Cenário 2:
No cálculo de limites de variáveis, a prática atual é de considerar 00 como forma indeterminada, cujo valor precisa ser estudado caso a caso
( chamamos esse estudo de "levantar a indeterminação" )


Exemplos de formas 0 0 :
  1. sendo u=5( -1/x ) e v=x, entao u v tem a forma 0 0 ao x tender a zero. Para levantar a indeterminação é só observar que:
    uv = 5( -1 ) = 1/5

  2. sendo u=2( -1/x ) e v=x, então u v tem a forma 0 0 ao x tender a zero. Para levantar a indeterminação é só observar que:
    u v = 2 ( -1 ) = 1/2

  3. um caso muito comum de ocorrência da forma 0 0 é aquele em que, em u v, a u=u( x ) e a v=v( x ) sao ambas funções analíticas de x ( nao basta a infinita derivabilidade ) e ambas tendem a zero ao x tender para zero; nestes casos, prova-se que u v - > 1 ao x - > 0.
    NOTE que nos dois exemplos acima a u=u( x ) NAO era analítica.

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