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Calculando com o zero: dividindo por zero

Temos dois tipos de divisão por zero: a divisão de um número não nulo por zero e a divisão de zero por zero. Os representantes protótipos desses tipos são: a divisão 1/0 e a divisão 0/0.

Essas duas divisões tem natureza bastante distinta:
  • a divisão 1/0 é indefinida ou impossível entre os números
  • e a divisão 0/0 é indeterminada
O texto abaixo, explica em detalhe a inviabilidade dessas divisões e, em particular, o significado das expressões "indefinida" e "indeterminada".


A divisão 1/0: indefinida, ou impossível, entre os números



Sendo a e b números, dizermos que a / b = c significa dizer que vale a = b . c .
De modo que perguntar "quanto é um dividido por zero?" é o mesmo que perguntar "qual número, quando multiplicado por zero, dá um?". Obviamente, não existe nenhum tal número e então não podemos achar um resultado numérico para 1/ 0. Dizemos que a divisão 1 / 0 é indefinida; ou seja: é impossível escolher ( definir ) um número que possa ser atribuído como valor de 1/0.


A divisão 1/0: contornando a indefinição com o infinito



Como vimos acima, não existe nenhum número que possa ser visto como sendo o resultado da divisão 1 / 0. Contudo, muito frequentemente vemos pessoas argumentando da seguinte maneira:

Como os quocientes

1/0.1 = 10 , 1/0.01 = 100 , 1/0.001 = 1000, etc

vão crescendo sem limite, poderíamos pensar num novo objeto matemático, que chamaremos de infinito e que representaria uma quantidade imensamente grande, ou algo desse tipo e colocado com melhores palavras, e o qual seria visto ou definido como sendo o resultado de 1/0. Ou seja: 1/0 = infinito. De modo que 1/0, embora 1/0 seja indefinida no conjunto dos números, ficaria definido através do objeto não numérico infinito.
O que pode-se dizer de uma tal tentativa de atribuir um resultado à divisão 1 / 0 ?

Bem, isso até pode ser feito. Contudo,
  • nunca poderemos deixar de ter em vista que o tal infinito não é número
  • Se quisermos realizar operações aritméticas com tal infinito, teremos de levar em conta que isso não será possível fazer de acordo com as regras operatórias que estamos acostumados usar no contexto de operações aritméticas com números
Examinemos isso com mais cuidado.

Um exemplo de regra operatória para números que não podemos abrir mão é:

b . a/b = a

de modo que teríamos de aceitar a validade de: 0 . 1/0 = 1, ou seja: 0 . infinito = 1. Essa última igualdade produz contradições, pois teríamos:

1 = 0 . infinito = 0 . ( 2.infinito) = 2 . ( 0 . infinito ) = 2 . 1 = 2

. Ou seja, acabaríamos chegando ao resultado absurdo: 1 = 2.

Assim que, no instante que aceitarmos a divisão por zero, estaremos abrindo a porta do mundo das contradições.

EXERCICIO:

Qual palavra melhor descreve a atribuição " 1/0 = infinito" ?
  • impossível
  • contraditório
EXERCICIO:

Em cada caso abaixo, aponte uma dificuldade para se atribuir um resultado ao valor da operação:
  • infinito - infinito
  • 0 . infinito
  • infinito / infinito
  • infinito / 0
  • 0infinito
EXERCICIO:

Como ficaria a lei da associatividade frente ao cálculo:

1 + infinito - infinito ?



EXERCICIO:

Comente sobre a seguinte tentativa de se provar que 1/0 = infinito não tem significado:
  • 12/3 = 4 e isso significa que se V. tiver 12 bolas V. poderá separá-las em 4 grupos de 3
  • 12/6 = 2 e isso significa que se V. tiver 12 bolas V. poderá separá-las em 2 grupos de 6
  • 12/0 = ? Nao poderei separar as 12 bolas em grupos de zero bolas.
EXERCICIO:

Não é raro vermos alunos inteligentes sairem-se com o seguinte argumento: "Temos que 1/0 = 1, pois se eu for dividir meu bolo entre um total de três pessoas, ficaria com 1/3 do bolo; se dividir o bolo com nenhuma pessoa ficarei com o bolo inteiro".
Comente sobre o erro do raciocínio.

EXERCICIO:

A partir do que foi visto acima, comente sobre o seguinte conselho:
"não divida por zero, e se o fizer, esteja preparado para enfrentar as consequências".

EXERCICIO:

Mostre que tudo o que foi dito acima para 1/0 aplica-se à r/0 para qualquer número r não nulo.


A divisão 0/0: seria possível definir 0/0 = 1?



Poder-se-ia pensar que como 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... = 1, seria natural definir 0/0 = 1. Contudo a divisão 0/0 traz embutida uma indeterminação, na medida que se definirmos 0/0 = 1 então seremos obrigados a concluir que 0/0 = 2, que 0/0 = 3 e que 0/0 = qualquer número que pensarmos.

Com efeito, se 0/0 = 1 então 0/0 = (2*0)/0 = 2 * 0/0 = 2*1 = 2 e analogamente provaríamos que 0/0 = qualquer real que quisermos.

Na prática, é bastante comum vermos alunos principiantes atribuirem valor para 0/0 e acabarem provando absurdos. Um exemplo típico:

para qualquer número r, podemos escrever: r.r - r.r = r2 - r2, e então: r.(r-r) = (r+r)(r-r). Dessa última igualdade tiramos: r = r + r e, então: 1 = 2.
Obviamente, o raciocínio acima envolveu uma divisão por zero; mais precisamente, foi usado que 0/0 = 1, o que raramente é atinado pelo aluno.


A divisão 0/0: seria possível definir 0/0 = 0 ?



Agora, parte-se da observação que 0/1 = 0/2 = 0/3 = etc = 0 e daí defende-se que 0/0 = 0.
Essa "definição" é bastante interessante, na medida em que ela não produz a indeterminação associada a 0/0 = 1. Com efeito, o raciocínio que lá usamos, agora, não consegue produzir indeterminações pois:

0/0 = (2*0)/0 = 2 * 0/0 = 2 * 0 = 0, etc

Contudo, a definição 0/0 = 0 também é inaceitável pois complica a Matemática e produz resultados não naturais. Com efeito, a clássica e básica regra:

(a*b)/b = a se b não nulo

ficaria modificada para:

(a*b)/b = a se b não nulo
(a*b)/b = 0 se b nulo

Além de complicada, a nova regra não leva em conta o valor de a e isso pode provocar resultados inaceitáveis, como a seguinte descontinuidade de tendência:

Seja estudar o gráfico da função y = ( x2 - 1 ) / ( x - 1 ).
Se aceitarmos a definição 0/0 = 0, poderíamos escrever nossa função como:
  • y = ( x + 1 )( x - 1 )/( x - 1 ) = ( x + 1 ) se x for distinto de 1
  • y = 0 se x=1
de modo que o gráfico dessa função ficaria sendo o ponto (1,0) e uma reta furada em x=1. Teríamos que a função ficaria irremediavelmente descontínua em x=1. E' preferível deixar 0/0 indefinido e então a função indefinida em x=1, mas com a possibilidade de redefini-la pelo seu valor limite y=2 em x=1, se assim for conveniente.


Resumo e conclusões:



  • a divisão 1/0 é indefinida entre os números, mas pode ser definida como 1/0 = infinito. Se adotarmos essa solução, devemos estar bem cientes que a operação com o infinito provocará resultados absurdos a menos que façamos uma drástica modificação nas regras usuais de cálculo
  • a divisão é/0 indeterminada entre os números não nulos, e em especial com a escolha 0/0 = 1; o caminho alternativo 0/0 = 0 leva a resultados não naturais e inconvenientes.
EXERCICIO:

Faça uma comparação detalhada entre os significados de indefinido e indeterminado

EXERCICIO:

Aponte dois erros no cálculo:

0 = 0 . 1/0 = 1. 0/0 = 1.1 = 1



EXERCICIO:

A normalização da aritmética implementada nos computadores e calculadoras científicas é feita por standards do IEEE ( Institute of Electrical and Eletronics Enginnering ). Esses standards introduzem vários elementos não numéricos, com o objetivo de impedir que essas máquinas interrompam cálculos científicos onde, inadvertidamente, surjam operações do tipo 0/0 e 1/0.
Mais precisamente, os standards da IEEE introduzem:
  • +infinity e -infinity para tratar das divisões tipo 1/0
  • NaN ( Not a Number ) para tratar dos casos 0/0
Pergunta-se: como o objetivo é fazer com que a máquina não pare quando solicitada a calcular 0/0 e 1/0, que outras providéncias o standard precisa tomar? Vocé seria capaz de imaginar algumas delas?

EXERCICIO:

Mostre que nas calculadoras existem números reais r tais que: 1 + r = 1. Voce poderia pensar numa razão para darmos um carácter especial ao maior r > 0 tal que 1 + r > r ?

EXERCICIO:

Provavelmente o mais antigo documento que temos e com um matemático calculando com o zero é de Mahavira ( India, c. 850 dC), onde ele diz:
um número multiplicado por zero é zero, e um número fica inalterado quando dividido por zero, somado ou diminuído de zero.
Comente sobre o erro cometido por Mahavira.

EXERCICIO:

Passados 300 anos depois de Mahavira, suas colocações acerca do zero passaram a ser vistas como incorretas. Mas a situação ainda não estava completamente esclarecida. Com efeito, Bhaskara c. 1200:
  • no seu livro Lilavati, diz:
    Uma quantidade finita é inalterada quando zero for seu multiplicador, se zero e' subsequentemente seu divisor, e similarmente se ela é somada ou diminuída de zero
  • No seu livro de Algebra, o Bijaganita, diz:
    a imutabilidade de uma quantidade dividida por zero é a mesma da que tem uma divindade
Pede-se comentar a correção das colocações de Bhaskara.

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