Movimento rígido de uma figura qualquer

Movimento rígido de uma figura qualquer

Nesta página, procuraremos mostrar:

como reduzir o movimento rígido de uma figura qualquer ao movimento de um conjunto FINITO de seus pontos
como implementar eficientemente, via matrizes, esse movimento

Reduzindo o movimento de uma figura ao de um conjunto FINITO de seus pontos

O interesse de atingir esse objetivo está em que ele nos possibilitará reduzir o movimento rígido da figura à uma multiplicação de duas matrizes, de um modo semelhante ao que já fizemos com a transformação do quadrado do primeiro exemplo que vimos quando introduzimos a idéia de transformação.

A desejada redução é bastante fácil de ser conseguida: basta que façamos uma discretização da figura a movimentar.
Para que entendamos melhor tal discretização, imaginemos que queiramos fazer o movimento rígido de um sólido qualquer, como uma bola. Para isso, iniciamos dividindo a superfície desse sólido em um número finito de triângulos ( se conveniente, podemos usar qualquer outro polígono plano ) com o que substituímos o sólido dado por uma sua versao fio de arame. É muito fácil vermos que a versão fio de arame pode ser uma representação tão fiel quanto quizermos do sólido dado: tudo o que precisamos fazer é usar uma quantidade adequadamente grande de triângulos convenientemente pequenos.

Resta observarmos que para fazer um movimento rígido qualquer da figura fio de arame basta fazermos o movimento de cada um dos vértices dos triângulos que a compõe, pois os movimentos rígidos preservam a linearidade dos lados dos triângulos.

A realização EFICIENTE do movimento rígido de uma figura qualquer

O teorema de Euler nos leva quase lá

Ele nos diz que qualquer movimento rígido pode ser escrito como uma composição M.R.T de movimentos rígidos básicos adequados: T = translação, R = rotação e M = reflexão. Mas essa composição ainda não está pronta para o uso prático. Com efeito: é fácil escrever a expressão de T, mas as de R e M só são fáceis nos casos que já vimos anteriormente: rotações em torno da origem e reflexões em torno de retas passando pela origem no caso plano e versões semelhantes no caso espacial. Contudo, é fácil ver - ao menos no caso plano - que os demais casos de reflexões e rotações podem ser escritos como composição de translações e os casos fáceis de rotações e reflexões.

Por exemplo:
seja fazer uma rotacão de Ø graus em torno de um centro C dado. É fácil ver que essa rotação pode ser feita do seguinte modo, dado um ponto P a rotar:

acho P' = T_-C ( P ) , onde T_-C é a translação que leva o centro C até a origem
faço a rotação de Ø graus de P' em torno da origem, obtendo P" = R( P' )
acho P''' = T_C ( P" ), onde T_C é a transformação que leva a origem até o centro C, tendo que P''' = resultado da rotação de Ø graus de P em torno do centro C.

de modo que a rotação desejada pode ser escrita como a composição:

T_C . R . T_-C

onde cada transformação dessa composição é um movimento rígido básico fácil, e do qual já sabemos escrever a representacão matricial. Com efeito, indicando por u e v as coordenadas do centro C, temos:

para T_-C :

x ' = - u + 1 0 . x
y ' - v 0 1 y

para a rotação R :

x ' = cos Ø - sen Ø . x
y ' sen Ø cos Ø y

e para T_C :

x '	=	u	+	1	0	.	x
y '		v		0	1		y

Imitando o que foi feito para as rotações, o leitor poderá facilmente ver que as reflexões em torno de uma reta que não passa pela origem podem ser escritas na forma :

T_C . M . T_-C

onde M é uma reflexão do tipo fácil, ou seja: relativamente a uma reta pela origem.

Consequentemente, pelo teorema de Euler, qualquer movimento rígido plano pode ser escrito como a composição de até sete translações, reflexões e rotações do tipo fácil, ou seja: para as quais conhecemos representação matricial.

O caso espacial é mais complicado, mas continua sendo possível mostrar que qualquer rotação e reflexão pode ser escrita usando-se uma quantidade adequada de translações e de rotações e reflexões do tipo fácil. Comprovaremos a veracidade disso em exemplos abaixo.

Implementação eficiente do teorema de Euler

É fácil ver que as translações dificultam a exploração da decomposição de qualquer movimento rígido em termos de transformações que tem uma fácil de achar representação matricial. Há, contudo, uma saída simples: em vez de usar as coordenadas cartesianas ( x,y ) no plano e ( x,y,z ) no espaço, usaremos as chamadas coordenadas homogêneas ( x,y,1 ) no plano e ( x,y,z,1 ) no espaço. Com esse artifício, conseguiremos expressar as translações - bem como as rotações e reflexões - como um produto matricial. Vejamos como fazer isso no plano e espaço:

no plano

cada transformação da forma:

x ' = u + a b . x
y ' v c d y

é substituída por uma transformação envolvendo uma única matriz, através de:

x ' = a b u . x
y ' c d v y
1 0 0 1 1

exemplo:
Pelo que vimos acima, a rotação de ângulo Ø e centro C = ( u,v ) era expressa em coordenadas cartesianas pela composição de transformações

T_C . R . T_-C.

Usando coordenadas homogêneas, essa concatenação de transformações fica vantajosamente substituída pelo correspondente produto matricial:

x ' = 1 0 u . cos Ø - sen Ø 0 . 1 0 - u . x
y ' 0 1 v sen Ø cos Ø 0 0 1 - v x
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1

Para ilustrar um caso concreto, vejamos como rotar de 45 graus o triângulo de vértices P1 = ( 0,0 ) , P2 = ( 1,1 ) , P3 = (5,2 ) em torno do centro C = ( -1,-1 ).

Como sen 45 = cos 45 = 0.707 ( aprox ) , pelo que vimos acima a matriz desta rotação é

1 0 -1 . 0.707 - 0.707 0 . 1 0 1 = 0.707 -0.707 -1
0 1 -1 0.707 0.707 0 0 1 1 0.707 0.707 0.414
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

De modo que as coordenadas do triângulo ROTADO são:

x1 ' x2 ' x3 ' = 0.707 -0.707 -1 . 0 1 5
y1 ' y2 ' y3 ' 0.707 0.707 0.414 0 1 2
1 1 1 0 0 1 1 1 1
no espaco

cada transformação da forma:

x ' = u + a b c . x
y ' v d e f y
z' w g h i z

é substituída por uma transformação envolvendo uma única matriz, através de:

x ' = a b c u . x
y ' d e f v y
z' g h i w z
1 0 0 0 1 1

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