Movimentos rígidos e sua representação matricial clássica

Movimentos rígidos e sua representação matricial clássica

1.- A idéia de transformação

Movimentos e deformações no plano

transformam cada ponto ( x , y ) de uma figura plana num ponto ( x' , y' ) através de expressão analítica da forma:

x ' = f ( x , y )
y ' = g ( x , y )

Vejamos dois exemplos iniciais:

a TR1 dada por x' = x , y' = 2x + y
e
a TR2 dada por x' = x² , y' = 2x + y .

Para facilitar a visuzalização do efeito geométrico dessas transformações, calculemos os ( x' , y' ) correspondentes a alguns ( x , y ) estrategicamente escolhidos:

TR1		TR2
( x , y )	( x' , y' )	( x , y )	( x' , y' )
( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 0 , 0 )
( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 0 , 1 )
( 0 , 2 )	( 0 , 2 )	( 0 , 2 )	( 0 , 2 )
( 1 , 0 )	( 1 , 2 )	( 1 , 0 )	( 1 , 2 )
( 1 , 1 )	( 1 , 3 )	( 1 , 1 )	( 1 , 3 )
( 1 , 2 )	( 1 , 4 )	( 1 , 2 )	( 1 , 4 )
( 2 , 0 )	( 2 , 4 )	( 2 , 0 )	( 4 , 4 )
( 2 , 1 )	( 2 , 5 )	( 2 , 1 )	( 4 , 5 )
( 2 , 2 )	( 2 , 6 )	( 2 , 2 )	( 4 , 6 )

Compare as transformações nas figuras abaixo:

TR 1

TR 2

Observe que a TR1 preserva retilinearidade e proporcionalidade, o que não ocorre com a TR2. Outra diferença, que será muito importante a seguir, é que a TR1 pode ser representada matricialmente e a TR2 não. Com efeito, é imediato ver que qualquer transformação da forma:

x ' = u + ax + by
y ' = v + cx + dy

pode ser representada matricialmente, assim:

x '	=	u	+	a	b	.	x
y '		v		c	d		y

Embora ainda precisemos melhorar a representação matricial dessas transformações, já é possível ver vantagens no uso de matrizes em cálculos de transformações geométricas. Com efeito, vejamos como calcular rapidamente a imagem do quadrado acima pela transformação TR 1 :

1	0	.	0	0	0	1	1	1	2	2	2	=
2	1		0	1	2	0	1	2	0	1	2

=	0	0	0	1	1	1	2	2	2
	0	1	2	2	3	4	4	5	6

Movimentos e deformações no espaço 3-dimensional

A situação é análoga ao caso plano. A forma geral das transformações espaciais é:

x ' = f ( x , y , z )
y ' = g ( x , y , z )
z ' = h ( x , y , z )

e a nossa atenção será dada ao caso particular das transformações que tem a forma:

x '	=	u	+	a	b	c	.	x
y '		v		d	e	f		y
z '		w		g	h	i		z

2.- Os movimentos rígidos básicos

Os movimentos rígidos ou euclidianos são as transformações que preservam distância entre pontos e, como tal, preservam o tamanho e a forma das figuras.

O caso plano

Há três tipos de movimentos rígidos básicos no plano:

as translações
as reflexões relativamente à uma reta dada
as rotações de um ângulo dado e em torno de um centro dado
( as rotações sempre são medidas no sentido anti-horário )

eles são chamados de básicos pois, conforme veremos, qualquer movimento rígido pode ser expresso como uma concatenação deles.
Vejamos alguns exemplos iniciais:

a translação horizontal de 2 unidades para a direita é dada por:

x ' = 2 + 1 0 . x
y ' 0 0 1 y
a reflexão relativamente ao eixo dos y é dada por:

x ' = -1 0 . x
y ' 0 1 y
a rotação de 180 graus em torno da origem é dada por:

x ' = -1 0 . x
y ' 0 -1 y

Vejamos, agora, casos mais gerais:

a translação horizontal de u unidades na horizontal ( para a direita se u for positivo e para a esquerda se u for negativo) e v unidades na vertical ( para cima ou para baixo conforme v seja positivo ou negativo ) é dada por:

x ' = u + 1 0 . x
y ' v 0 1 y
a reflexão relativamente à reta pela origem y = m x é mais trabalhosa de obter:

x ' = ( 1 - m² ) / ( 1 + m² ) 2 m / ( 1 + m² ) . x
y ' 2 m / ( 1 + m² ) ( m² - 1 ) / ( 1 + m² ) y
a rotação anti-horária de Ø graus em torno da origem é dada por:

x ' = cos Ø - sen Ø . x
y ' sen Ø cos Ø y

O caso espacial

Os movimentos rígidos básicos correspondem a versões 3-dimensionais dos correspondentes movimentos planos. A generalização é imediata no caso das translações e reflexões, e mais delicada no caso das rotações. Assim que temos como movimentos rígidos espaciais básicos :

as translações
as reflexões relativamente a um plano dado
as rotações de um ângulo dado e em torno de um eixo orientado dado
( as rotações sempre são medidas no sentido de um saca-rolhas que tem a direção e sentido do eixo dado )

É muito simples escrever a representação matricial de qualquer translação , das reflexões relativamente aos planos coordenados e das rotações em torno dos eixos coordenados. Contudo, para tratar os casos de reflexão relativamente a um plano qualquer, e rotação em torno de um eixo qualquer precisaríamos desenvolver algumas tecnicalidades que alongariam em muito nosso passeio por esse assunto. Assim que nos limitaremos a exemplificar alguns casos fáceis:

exemplo :
reflexão relativamente ao plano coordenado XY:

x ' = 1 0 0 . x
y ' 0 1 0 y
z ' 0 0 - 1 z
exemplo :
rotação de um angulo Ø em torno do eixo dos x:

x ' = 1 0 0 . x
y ' 0 cos Ø - sen Ø y
z ' 0 sen Ø cos Ø z

3.- Movimentos rígidos quaisquer : teorema de Euler

Todo movimento rígido, plano ou espacial, pode ser obtido fazendo uma translação, seguida de uma rotação e finalmente de uma reflexão
( possivelmente, uma ou duas dessas transformações podem ser omitidas ).

prova no caso plano :

é imediata formalização do que está colocado nas figuras abaixo, onde mostra-se como superpor um triângulo azul dado a qualquer triângulo vermelho a ele congruente:

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