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A noção de matriz

Frequentemente nos deparamos com conjuntos de números que sao operados essencialmente da mesma maneira, isso sugere tratá-los em bloco.
No que segue, procuraremos desenvolver essa idéia e descobrir como devemos realizar a mais importante operação com tais blocos, que é a chamada multiplicação matricial.


Chamamos de matriz a qualquer tabela retangular de números, ou outro tipo de objetos matemáticos que pretendemos operar em bloco, simultaneamente.



exemplo 1 :

Uma locadora de automóveis tem duas lojas, L 1 e L 2. O cliente que locar um carro pode devolvê-lo em qualquer uma das lojas.
A locadora fêz estatística que indica que 80% dos carros locados na loja L 1 são aí devolvidos, e que 60% dos alugados na loja L 2 são lá entregues.
Sendo x 0 , y 0 os percentuais de carros que hoje estão nas lojas L 1 e L 2 , deseja-se saber os percentuais x 1 e y 1 de carros que estarão nessas lojas no dia de amanhã.

Solução:
É fácil ver que:

       x 1 = carros vindos da própria L 1 + carros vindos da L 2 = 0.80 x 0 + 0.40 y 0
       y 1 = carros vindos da L 1 + carros vindos da própria L 2 = 0.20 x 0 + 0.60 y 0
Os cálculos para determinar x 1 e y 1 são muito parecidos, o que sugere dar-lhes um tratamento simultâneo, matricial. Para isso, é fácil ver que basta dispô-los em quadros ou tabelas, como abaixo, de modo a termos um quadro, tabela ou matriz de percentagens "multiplicando" a tabela ou matriz das quantidades atuais de carros nas lojas:

x 1 = 0.800.40 . x 0
y 1 0.200.60 y 0



O interesse da noção de matriz resume-se a propiciar uma disposição mais limpa do cálculo ? Não! Há muito mais do que isso. Por exemplo, podemos combinar o que fizemos acima, na passagem hoje - > amanhã, com o que podemos semelhantemente fazer com a passagem amanhã - > depois de amanhã, e assim expressar a distribuição dos carros daqui há dois dias em termos da distribuição atual .

Vejamos como! Indicando por P a matriz das percentagens, e c n a matriz coluna que dá as quantidades x n e y n de carros, em L 1 e L 2 respectivamente, no dia n, vimos que d 1 = P d 0, e analogamente vé-se que d 2 = P d 1.
De modo que: d 2 = P d 1 = P ( P d 0 ) .

O cálculo acima ficaria ainda mais elegante, se pudéssemos apagar os parêntesis e então poder escrever:

d 2 = P d 1 = P ( P d 0 ) = P P d 0 = P 2 d 0 .

Para ver que isso é possível e para descobrir como fazé-lo, basta observar que:

        x 2 = 0.8 x 1 + 0.4 y 1 = 0.8 [ 0.8 x 0 + 0.4 y 0 ] + 0.4 [ 0.2 x 0 + 0.6 y 0 ]
        y 2 = 0.2 x 1 + 0.6 y 1 = 0.2 [ 0.8 x 0 + 0.4 y 0 ] + 0.6 [ 0.2 x 0 + 0.6 y 0 ]

ou seja:

        x 2 = [ 0.8*0.8 + 0.4*0.2 ] x 0 + [ 0.8*0.4 + 0.4*0.6 ] y 0
        y 2 = [ 0.2*0.8 + 0.6*0.2 ] x 0 + [ 0.2*0.4 + 0.6*0.6 ] y 0

de modo que:
x 2 = 0.8*0.8 + 0.4*0.20.8*0.4 + 0.4*0.6 . x 0
y 2 0.2*0.8 + 0.6*0.20.2*0.4 + 0.6*0.6 y 0

Assim vemos que, examinando as duas maneiras de escrevermos d 2 em termos de d 0, vemos que temos de definir o produto de duas matrizes da seguinte forma:

ab a'b' = aa' + bc'ab' + bd'
cd c'd'   ca' + dc'cb' + dd'
É imediato generalizar essa definição para o caso de duas matrizes quadradas e tamanho ( igual ) qualquer, sempre usando a chamada Regra LICO para formar os elementos da matriz produto: multiplica-se cada LInha da matriz da esquerda por cada COluna da matriz da direita.

É também imediato vermos que essa noção de produto aplica-se à matrizes não-quadradas, DESDE que o tamanho das linhas da matriz da esquerda seja igual ao tamanho das colunas da matriz da direita.

Mas, continuemos a mostrar as vantagens de trabalhar matricialmente.

Agora, podemos expressar facilmente a quantidade de carros nas lojas em qualquer dia. Por exemplo:
Daqui a uma semana teremos uma distribuição de carros d 7 que é dada por d 7 = P 7 d 0 = P P P P P P P d 0 .
Se a companhia tiver, daqui a uma semana, uma distribuição de carros d * então pode garantir que no feriado, que ocorrerá um mês depois, terá:

d 37 = P 30 d * .



Mais importante, vejamos se a longo prazo, após muito tempo de funcionamento da locadora, a distribuição dos carros se estabiliza. Se isso ocorrer, então, para n grande, os valores de d n e d n+1 serão praticamente iguais. Sendo d essa distribuição comum, teremos:

d = P d

de modo que, sendo x e y as componentes de d, temos as seguintes três equações:

        x = 0.80 x + 0.40 y
        y = 0.20 x + 0.60 y
        x + y = 1 ( ou seja: 100 % ).

É fácil resolvê-las, achando-se: x = 1 / 3 , y = 2 / 3 , ou seja:
a longo prazo:

        33.3 % dos carros estarão na loja L 1
        66.6 % dos carros estarão na loja L 2

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