Cálculo de percentagens


Ora, isto todo mundo sabe!!!

Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muito professor, fazem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.
Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.



Significado do sinal de percentagem: %


O sinal % é uma mera abreviação da expressão dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma coisa que 800/100, ou seja é o mesmo que que 8 por 1. Ou seja, é a mesma coisa dizermos: 800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1, etc.

Examine cuidadosamente as seguintes igualdades:



O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas


Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação.Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.
O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Consequentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:

EXERCICIO 1
Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCICIO 2
Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3
Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCICIO 4
No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo do livro?

RESPOSTA: 285,4 %

EXERCICIO 5 ( muito importante )
A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?

RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de malarientos passa de M para

M' = ( 1 + x )2 M = 2 M

Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.



Aumentos e diminuições percentuais


A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

EXERCICIO 6
Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 7
A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.
Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

  • a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN .
  • o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

( NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica" )

RESPOSTA: 8.5 %

EXERCICIO 8
( se V. fizer este, fará qualquer outro! )
Um comerciante tinha 100 Kg de morangos, cujo teor de umidade era 99% e cujo preço era $30 por Kg. Sendo que hoje a umidade baixou para 98%, ele quer saber como remarcar o preço de modo a não ter prejuízo.

RESPOSTA: no fim desta página


Pontos percentuais



A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:




Exercícios suplementares



EXERCICIO 9
A produção de uma fábrica aumentou de 240 para 312 unidades. Consequentemente, houve um aumento de 30% na produtividade. Pergunta-se:



EXERCICIO 10
Os honorários de uma agência de propaganda são compostos de duas parcelas: o custo de produção ( artistas, filmes, etc ) e uma comissão de 15% sobre o custo de produção. Por sua vez o IR ( Imposto de Renda ) cobra, da agência, um imposto que:

Pergunta-se:

RESPOSTAS: 5%, 43.3%, 59.7%

EXERCICIO 11
Na beirada de um jardim circular, foi feita uma calçada circular que aumentou a área do mesmo em 96%. Sendo que a calçada tem 4 metros de largura, pede-se o raio do jardim original.

RESPOSTA = 10 m

EXERCICIO 12
Explique por que o seguinte método funciona se, num restaurante, V. quiser acrescentar uma gorjeta de 15% à despesa D:
Primeiro escrevo o valor D e então movo a virgula decimal de D uma casa para a esquerda e escrevo essa quantidade sobre D. Finalmente, divido essa última quantidade por 2 e escrevo o resultado dessa divisão. O total a pagar é a soma das 3 quantias escritas.

EXERCICIO 13
Um quadrado tem 400 cm2 de área. De qual percentual devemos diminuir seu lado para que a área diminua 20% ?
RESPOSTA: aprox 10.56%

EXERCICIO 14
O último censo do município XYZ mostrou que no mesmo:

Que percentual da população adulta do município foi além da escola primária?

RESPOSTA: 14.5%

EXERCICIO 15
Após reportagem em programa televisivo de grande audiência, uma das maiores multinacionais do setor de alimentos publicou matéria paga defedendo-se de ter reduzido o peso de seus produtos. Nessa matéria, a multinacional disse que: "reduzimos o peso de nossa linha de biscoitos wafer de 200 gramas para 150 gramas. Nesse caso também, o preço do produto foi reduzido em 20%".
Pergunta-se: V. concorda com a explicação?

RESPOSTA: Ora, 25% e 20% são valores bem diferentes.

EXERCICIO 16
Escreveu um dos mais famosos jornalistas do país: "Dos R$ 23 milhões do Orçamento para a Agricultura Familiar, até agora foram gastos apenas R$ 800 mil, ou seja: apenas 0.4%".
Pede-se calcular o percentual correto e então explicar o porque do erro do jornalista.

fig


RESPOSTA DO EXERCICIO 8: $60 por Kg.



versão: 02 - set - 2 001
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