|
|
|
A idéia de periodicidade:
ela corresponde a idéia de repetição que continua indefinidamente. Essa repetição podendo ocorrer tanto no espaço como no tempo.
alguns exemplos de periodicidade no espaço:
um exemplo de periodicidade linear ou unidimensional:um exemplo de periodicidade bidimensional:
V. poderia dar exemplo de periodicidade tridimensional ?
alguns exemplos de periodicidade no tempo:
o piscar de um vagalume, as fases da Lua, o suceder das estações, o florescimento dos jacarandás, etc.A periodicidade é uma das idéias mestras da Matemática Aplicada. Isso significa que é uma idéia que tem ocorrência quase universal ( os fenómenos periódicos ocorrem nas mais diversas disciplinas científicas e tecnológicas: Física, Economia, Biologia, Engenharia, Química, etc ) e que como tal o matemático objetiva estudá-la abstratamente de modo a poder isolar sua essência e assim chegar ao entendimento do porquê de sua universalidade.
No que segue, nos concentraremos apenas na elucidação do seu conceito no caso particular da periodicidade de funções, .
Periodicidade das funções: exame introdutório
No caso de y ser uma variável que é função de uma outra variável x, na linha da idéia acima, diremos que y é uma função periódica de x se existir uma quantidade p não nula tal que, aos valores de x variarem, ocorra que de p em p os correspondentes valores y repetem-se.
A natureza da variação de x exige que ela seja uma variável numérica, mas ela pode ser de natureza tanto escalar como vetorial, e tanto discreta como contínua. Já y não precisa ter carácter numérico, pode ser uma cor, um aroma, etc.
exemplos iniciais:
Em cada exemplo acima, é fácil ver que os y repetem-se a cada pulo de p=1 unidades da variável x. Consequentemente, todas essas funções são periódicas.
Periodicidade das funções: segundo exame
Dada a importância do valor p que aparece no conceito de função periódica, vemos que será importante lhe darmos um nome. A primeira tentação é a de lhe chamar de o período da função. Contudo, um pouco de pensar mostra que ele não é tão exclusivo assim. Com efeito, é fácil vermos que em cada uma das funções acima há repetição de 2 em 2, e também de 3 em 3, ou de 4 em 4 e etc. Com efeito é fácil vermos que se y repete-se de p em p, então ela também se repete de 2p em 2p, e de 3p em 3p, e de 4p em 4p, etc.
Resumindo: podemos pensar de chamar p de um período da função.
Periodicidade das funções: terceiro exame
Nada impede de tomarmos p negativo. Isso corresponde a "viajarmos" para a esquerda no gráfico da função e a cada "pulo" de p unidades no eixo da variável x encontrarmos o mesmo valor para y. Isso ocorre, por exemplo, no caso das três primeiras funções da lista acima: os valores de cada uma delas repetem-se de -1 em -1, e de -2 em -2, etc.
Isso significa que não podemos querer exigir que os períodos de uma função tenham de ser positivos.
Estamos, agora, prontos para dar uma definição mais rigorosa de função periódica:
Dada uma função y = y( x ), onde x é uma variável numérica escalar ou vetorial:
a).- diremos que um p é UM período dessa função se valer:
y( x + p ) = y ( x )
para cada x do domínio da funçãob).- diremos que y = y( x ) é uma função periódica se ela admitir ao menos um período não nulo.
EXERCICIO 1
Mostre que para cada função da lista acima, o conjunto dos períodos é dado por:
a). todos os números inteiros ( os positivos, os negativos e o zero )
b). todos os números reais
c). todos os números racionais
d). todos os inteiros pares não negativos
EXERCICIO 2
Mostre que:
a). os períodos de y = tg x são os múltiplos inteiros de pi
b). y = log x não é função periódica, ou seja que ela tem apenas o período trivial p=0.EXERCICIO 3
Mostre que se y = y( x ) está definida para todos os x reais, então:
a). se p e q são períodos dessa função, então a soma p + q também é período
b). se p é período então -p também é período
c). se p e q são períodos, então a diferença p - q também é período.
d). como ficaria essa última propriedade se não tivéssemos permitido p=0 ser período?EXERCICIO 4
Como já foi colocado antes, a noção de periodicidade não fica restrita às funções y = y( x ) de variável escalar. Nesse sentido:
a). Ache os períodos da função y = sen( x1 ) sen( x2 )
DICA: Temos aqui x = ( x1 , x2 ) e um período é p = ( 2 pi , 2 pi )
b). Como ficam os resultados acima que falam de soma e diferença de períodos ?
Classificação das funções periódicas ( de variável escalar )
Decorre imediatamente da definição que se uma função y = y( x ) for periódica então ela ela tem infinitos períodos. É fácil percebermos a importância de se considerar o menor período positivo dessa função, caso ele exista. Daí a seguinte definição:
Consequentemente, as funções de variável escalar ficam divididas em caóticas e não-caóticas:
Sendo y = y( x ) função periódica ( onde x é uma variável numérica escalar ), diremos que essa função é caótica se ela não tiver um menor período positivo
As funções caóticas são assim chamadas por que em geral, prova-se, tem um gráfico extremamente irregular e complicado.
EXERCICIO 5
Comprovar as seguintes relações de caoticidade para as funções da lista inicial:
a). não caótica
b). caótica
c). caótica
d). não caótica
A noção de frequência de uma função periódica
Dada uma função y = y ( t ), onde a variável independente está sendo denotada por t e representa o tempo, se essa função for não caótica ela terá um menor período positivo que indicaremos por T. Esse T é chamado de período fundamental ou ciclo da função.
Fisicamente, esse T corresponde ao menor intervalo de tempo que precisamos observar a função para ficarmos conhecendo-a completamente.
Pelo dito acima, essa noção de frequência aplica-se tão somente às funções não caóticas.
Os cientistas chamam de frequência ao número de ciclos na unidade de tempo: N = 1 / T EXERCICIO 6
Achar, caso exista, a frequência de cada uma das funções da lista inicial ( supondo que x seja tempo e seja medido em segundos ) :
a). N = 1 ciclo / segundo = 1 Hertz
b). Não tem
c). não tem
d). N = 0.5 ciclo / segundo = 0.5 Hertz
