FRACOES ORDINARIAS x FRACOES DECIMAIS





FRACOES DECIMAIS

Fração decimal é toda fração ordinária cujo denominador é 10, ou 100, ou 1000, ou outra potência (inteira) positiva de 10.
Em notação algébrica: fração decimal é toda fração ordinária que pode ser escrita na forma m/10n, onde m é inteiro e n inteiro positivo.




USO das FRACOES DECIMAIS

Podemos estender a ideia de sistema posicional decimal, originalmente aplicada somente aos números inteiros, para representar números reais quaisquer como uma "soma" (de uma quantidade finita ou infinita) de frações decimais. Por exemplo:

PI = 3 + 1/10 + 4/100 +  1/1000 + 5/10.000 + etc.

Essa extensão constitui a grande utilidade das frações decimais.

Nunca é demais lembrar que existem números racionais que não podem ser representados por uma única fração decimal; o mais simples destes exemplos é o do número racional dado por 1/3. Contudo, todo número racional, e mesmo todo número real, pode ser representado por uma soma de frações decimais. Um dos maiores objetivos de nosso curso é demonstrar esse fato, e explicar as nuances associadas.

É oportuno mencionar que é perfeitamente possível representar números reais irracionais como soma de frações ordinárias que não são decimais, e nem estão associadas a um sistema de numeração posicional. Isso já era conhecido há milhares de anos. Com efeito, por exemplo no Sulba-Sutras de Baudhayayana (manuais da matemática védica, escritos entre 2500 e 500 AC), mostra-se a seguinte representação para a raiz quadrada de 2:

V2 = 1 + 1/3 + 1/3x4 -  1/3x4x34 + etc. = 1,41421...






ORIGEM DAS FRAÇÕES DECIMAIS

O mais antigo uso científico que se conhece das frações decimais remonta aos matemáticos e astrônomos chineses de c. 200 dC. Uns 100 anos depois, foram reintroduzidas por al Kashi, e passaram a ser usadas por vários outros matemáticos islamitas do Oriente Médio e do norte da Africa.

No Mundo Cristão, foram introduzidas por Fibonacci c. 1200, que havia tomado contato com elas durante suas viagens pelo norte da Africa. Fibonacci deu, ademais, os primeiros passos na construção de uma aritmética dessas frações. Assim, ele representa o número 0,79 = 7/10+9/100 do seguinte modo:

9   7
10   10

que devemos ler (atente para o sentido com que a leitura é feita) como significando:

7/10   +  1/10   .   9/10

A partir de c. 1350, vários outros matemáticos europeus passaram a usar frações decimais, mas de um modo ainda bem rudimentar. É só com Stevin c. 1580 que é feito um estudo sistemático dessas frações e de seu uso na representação dos números reais --dando o que hoje chamamos de expansão decimal dos números reais, ou representação dos reais por (meio de soma de) frações decimais--, inclusive com algoritmos para as operações aritméticas. Suas contribuições foram expostas em seu livro La Thiende, que foi imediatamente traduzido para o francês (sob o título La Disme, de onde se originou a expressão dízima) e outras línguas européias, tornando-se um elemento fundamental para o nascimento das ciências e tecnologias modernas.

O uso popular das frações decimais e representação decimal dos números reais tornou-se "obrigatório" com a Revolução Francesa. Com efeito, essa, ao abolir a monarquia, também aboliu várias práticas daqueles tempos, tais como pés, jardas e suas frações exóticas.





versão: 21-set-2011
Texto: © 2011, por Francisco Porto da Silveira ( portosil@mat.ufrgs.br )
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