CONCEITO GERAL de FRACAO





ADVERTENCIA:

Neste texto, trataremos da ideia geral de fração, MAS restrita a contextos numéricos. A Matemática Moderna vai muito mais longe, tratando de frações até mesmo fora de contextos numéricos: frações polinomiais, frações em um anel comutativo, etc. Assim que podemos dizer que nesta página abordaremos o conceito geral de fração numérica.




A IDEIA de FRACAO

A palavra fração vem do latim: frangere = quebrar, e daí fractio, fractionis = quebrado, pedaço, segmento. Este sentido etimológico é apenas uma aproximação da ideia contemporânea de fração numérica, que pode ser explicitada como segue.

Fração é uma ou várias partes iguais de uma dada grandeza.
Mais precisamente: dada uma grandeza vista como um todo, se a dividirmos em uma, duas, ou mais alíquotas (ou seja: partes iguais), por fração dessa grandeza (ou desse todo) entendemos qualquer número inteiro dessas alíquotas.

Exemplos:
-- grandeza = diagonal de um quadrado; tomando como alíquota a terça parte da diagonal, obtemos as seguintes frações: 1 alíquota = 1 terço da diagonal, 2 alíquotas = 2 terços da diagonal, 3 alíquotas = 3 terços da diagonal = diagonal, 4 alíquotas = 4 terços da diagonal, etc.

-- grandeza = uma dúzia de ovos; tomando como alíquota a quarta parte da dúzia, obtemos as seguintes frações: 1 alíquota = 1 quarto de dúzia, 2 alíquotas = 2 quartos de dúzia, 3 alíquotas = 3 quartos de dúzia, etc.

Notação:
Costuma-se abreviar as expressões fracionárias, escrevendo, por exemplo:
2 terços da diagonal = 2/3 da diagonal, 3 quartos de dúzia = 3/4 de dúzia.
Mais comum é se usar uma notação ainda mais abreviada:
2 terços da diagonal = 2D/3 , 3 quartos de dúzia = 3d/4, onde D está denotando a diagonal, e d denota a dúzia.

Como um exercício, o leitor deve procurar ver que a seguinte definição de fração --dada no livro que maior influência teve na matemática européia de cerca de 1500, o Suma de Arithmetica, de Pacioli-- se encaixa na definição do início desta página:

(em italiano arcaico)
"Rotto e uno o vero piu parti de uno itegro."
Ou seja, em tradução livre:
O quebrado (a fração) é uma ou mais partes de uma coisa inteira (de uma unidade).




AS FRACOES PODEM SER CONTINUAS ou DISCRETAS

Como já ocorreu nos exemplos acima, a grandeza (ou o todo) a ser fracionada pode ser tanto uma grandeza contínua (como um comprimento, uma área, uma massa, etc.) como uma grandeza discreta (como um conjunto de ovos, o conjunto dos alunos de uma turma, etc.).

  • (Exemplos de frações de grandezas contínuas)
    um terço da circunferência desse círculo, três quartos da área daquele retângulo, um quinto do meu bolo, a metade da diagonal daquele quadrado, um terço de tanque de gasolina, etc.

  • (Exemplos de frações de grandezas discretas)
    "Nesta classe, 2/7 dos alunos são homens e 5/7 são mulheres", "Quero um terço de dúzia de ovos", "Quase dois terços dos deputados estavam presentes", etc.
Exemplo:
Seja a fração dada por "tomemos a quarta parte da circunferência deste círculo de raio unitário".
Como o círculo dado tem raio R=1, sua circunferência vale C = 2 PI R = 2 PI. Consequentemente, temos que a quarta parte dessa circunferência corresponde a 1/4 de 2 PI, fração que é equivalente a 1/2 de PI, o que se costuma denotar por PI/2 e ler como "a metade de PI".



Assim, PI/2, PI/3, 2PI/3, etc. são exemplos de frações de PI.

(De modo a não se gerar confusão, é importante não omitirmos o "de PI" na expressão "frações de PI" acima. Quando dermos o conceito de fração ordinária, ficará mais claro o que estamos advertindo.)





A GRANDEZA FRACIONADA PODE SER POSITIVA, NULA, ou NEGATIVA.

Denotando a (medida dessa) grandeza por a, sendo um inteiro positivo e m um inteiro qualquer, temos:

a --› a/n --› m . a/n = m/n . a ,

e se a for a unidade (de um dado contexto):

1 --› 1/n --› m . 1/n = m/n . 1 = m/n .

Exemplo:
Em Matemática Financeira, dívidas são representadas por números negativos. Assim, dizendo que "fiquei com um terço da dívida da empresa", e supondo que essa dívida seja de R$ 800, teremos que tal dívida corresponde à fração (-800)/3.




A NOTACAO das FRACOES

Foram inventadas muitas notações para representar as frações. Tratemos apenas da origem das notações modernas. Elas resultam da seguinte evolução:

a
b
 =  a
b
 =  a/b

A primeira notação (não há barra entre numerador e denominador) foi introduzida pelos gregos e indianos, e é a que melhor corresponde a ideia de fração, pois pode ser interpretada como dizendo que uma fração consiste em um par ordenado. A segunda foi inventada por matemáticos da Civilização Islâmica; posteriormente, tornou-se popular na Europa do Renascimento, apesar dos protestos dos tipógrafos. A terceira foi inventada na América Latina, lá por cerca de 1750; costuma-se brincar dizendo que seu inventor (desconhecido) deveria ganhar a Medalha da Sociedade Contra a Crueldade para com Tipógrafos.



versão: 21-set-2011
Texto: © 2011, por Francisco Porto da Silveira ( portosil@mat.ufrgs.br )
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