Começaremos listando algumas relações funcionais entre os objetos móveis:

A área do triângulo ABM depende do comprimento do segmento OM. O perímetro do triângulo ABM depende da distância de M à O. Os ângulos internos do triângulo ABM dependem da distância de M à O. A área do triângulo AOM depende do ângulo OMA. O comprimento dos segmentos AM e BM dependem do comprimento do segmento OM.

Nos deteremos agora a resolver o problema da área do triângulo ABM em função da distância do ponto M ao segmento vertical, calculando sua expressão analítica.
Observando o mecanismo, notamos que a medida que o segmento OM cresce, a área do triângulo ABM também cresce. Então já sabemos que essa é uma função crescente. Para facilitar a resolução, consideraremos AB como base do triângulo e OM como altura, assim temos:

f(x) = área do triângulo ABM, com x = OM f(x) = 1/2 . AB . x f(x) = (AB/2)x

• Observe que se mudarmos o tamanho do segmento AB, variamos o coefiente angular da reta. Isto implica uma mudança na velocidade com que a área aumenta.

Começaremos listando algumas relações funcionais entre os objetos móveis:

A distância de B à origem depende da distância de A à origem. A área do triângulo ABO depende do comprimento do segmento OA. O ângulo BAO depende da distância de A à O.

Nos deteremos agora à função que tem como variável independente a distância de A à origem e como variável dependente a distância de B à origem, e calcularemos sua expressão analítica.
Observando o mecanismo, notamos que a medida que a distância de A à origem aumenta, diminui a distância de B à origem, ou seja, a função é decrescente.

Se, x = distância de A até a origem e y = distância de B até a origem Então, pelo Teorema de Pitágoras:

Começaremos listando algumas relações funcionais entre os objetos móveis:

A soma das áreas dos triângulos API e BPJ depende da distância de P à A. A distância de B à P depende da distância de A à P. A área do quadrilátero CIPJ depende do comprimento do segmento AP. O comprimento do segmento AI depende do comprimento do segmento BJ.

Nos deteremos agora ao problema da soma das áreas dos triângulos API e BPJ em função da distância do ponto P ao ponto A, calculando sua expressão analítica. Num primeiro momento, observando o mecanismo, podemos pensar que a soma das áreas permanece constante. Mas se observarmos bem, ela é máxima nas duas situações limites mostradas abaixo, onde o ponto P coincide com os pontos A e B.

Para facilitar a dedução da expressão analítica, nomearemos algumas variáveis:

• y = soma das áreas dos triângulos API e BPJ
• x = distância de P à A
• a = ângulos CAB e CBA

Utilizando as relações trigonométricas do triângulo retângulo, temos:

Como a e AB são constates do problema, vamos reescrever a equação final de uma forma mais enxuta.

Abaixo temos o gráfico que representa a soma das áreas dos dois triângulos.

Começaremos listando algumas relações funcionais entre os objetos móveis:

A distância do ponto B ao ponto O depende do ângulo AOB. A área do triângulo AOB depende do comprimento do segmento OB. Os ângulos OAB e ABO dependem do ângulo AOB.

Nos deteremos agora à relação distância de B à O em função do ângulo AOB, calculando sua expressão analítica. Podemos perceber que enquanto o ângulo AOB cresce, a distância de B à O varia, ou seja, ora aumenta, ora diminui. Vamos ver como fica o desenvolvimento da equação, utilizando a Lei dos cossenos para a resolução.

Abaixo temos o gráfico que reprenta a situação estudada.