Uma Segunda Leitura

Problemas de Máximo ou Mínimo

Introdução

Saber determinar pontos de máximo ou de mínimo de uma função é um conhecimento matemático que nos ajuda a resolver muitos problemas práticos. Às vezes, a expressão da função é suficientemente simples, o que torna este cálculo fácil de ser feito (por exemplo se a função é quadrática: y = a.x² + b.x + c. Por que neste caso é simples?). Mas se não for este o caso, precisamos de um pouco mais de ferramenta matemática!

Considere a função que tem o gráfico abaixo. Tome um ponto (x, f(x)) no gráfico e trace a reta tangente ao gráfico passando por esse ponto. Imagine este ponto deslocando-se no gráfico e observe a mudança de posição na reta tangente; para cada "x" estime a inclinação da reta tangente (faça uma régua deslizar de forma tangente ao gráfico) e esboce o gráfico de tal função.

1. Destaque no gráfico os intervalos onde a inclinação da reta é positiva e onde é negativa.
2. Nos pontos de máximo ou de mínimo da função f, como é a inclinação da reta tangente?

Definição da inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x, f(x))

Vimos acima que nos pontos de máximo ou de mínimo da função a inclinação da reta tangente é zero. Assim, se sabemos determinar quando a inclinação da reta tangente é zero, podemos resolver os problemas de máximo e mínimo.

Nosso objetivo agora é ver como se calcula a inclinação da reta tangente ao gráfico f no ponto (x, f(x)). Vamos considerar a reta secante ao gráfico passando pelos pontos (x, f(x)) e , conforme figura abaixo (pense bem pequeno!). A inclinação desta reta secante é dada por: Obs.: Lembre-se que se temos dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), a inclinação da reta é dada da seguinte forma: (y2 - y1) / (x2 - x1)

Se tomarmos cada vez menor, temos o ponto cada vez mais próximo de (x, f(x)) e a reta secante cada vez mais próxima da reta tangente ao gráfico no ponto (x, f(x)). Assim, é natural considerar a inclinação da reta tangente no ponto (x, f(x)) como sendo o número do qual se aproxima o quociente acima, quando tende a zero.

Aplicação

Encontre o vértice da parábola y = ax² + bx + c.

Para resolvermos este problema, geralmente procedemos da seguinte maneira:

Analizando a equação final, observamos o seguinte:

• Se a > 0, para obtermos um valor mínimo, precisamos que "x" assuma o valor de -b/2a, pois assim anulamos a primeira parcela, obtendo para "y" o valor da segunda parcela c - b²/4a;
• Se a < 0, para obtermos um valor máximo, precisamos novamente que "x" assuma o valor de -b/2a, para anularmos a primeira parcela, que é negativa e só diminuiria o valor do resultado final. Teremos, então, "y" igual ao valor da segunda parcela, ou seja, c - b²/4a.
  Enfim, para qualquer um dos casos, teremos:
  

Porém, podemos resolver esse problema encontrando os pontos de máximo e mínimo da função y = ax² + bx + c.

Como já vimos, nos pontos de máximo e mínimo de uma função a inclinação da reta tangente a esses pontos é zero. Então vamos determinar a inclinação da reta tangente à parábola y = ax² + bx + c e verificar quando que ela é zero.
Inclinação da reta tangente:

Fazendo com que aproxime-se mais e mais de zero, teremos que a inclinação da reta tangente à parábola é: 2ax + b.

Vamos, então, verificar quando a inclinação da reta tangente é zero:

Para obtermos a ordenada do vértice, substituimos "x" na equação y = ax² + bx + c: