Usando recursos da Geometria Analítica na construção de planos

Na Geometria Analítica, um conceito muito útil é o de vetor. Mas, o que é vetor?

Geralmente, os alunos do Ensino Médio tem por conceito de vetor as "flechas" ou "forças".

Mas, na linguagem formal da matemática, um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento.

Utilizando-se de vetores, podemos definir um plano através de um ponto e um vetor ortogonal ao plano: o ponto pertence ao plano e o vetor indica a direção que o plano deve tomar. Essa construção, através do Teorema de Pitágoras, procede da seguinte maneira(*):

Tomamos como P o ponto que pertence ao plano, representado por P=(k, m, n), n o vetor ortogonal ao plano, n=(a,b,c), e Q um ponto qualquer do plano, Q=(x,y,z), como na figura abaixo:

Transportando o segmento PQ para a origem, teremos:

Observe que o segmento transportado é um vetor, com coordenadas (x-k, y-m, z-n), e que se forma aí um triângulo retângulo, no qual aplicaremos o Teorema de Pitágoras.

• Um dos catetos é o vetor ortogonal, que tem por medida
• O outro cateto é o vetor transportado do segmento PQ, que tem por medida

• E a hipotenusa é o segmento formado pelos pontos (a, b, c) e (x-k, y-m, z-n), que tem por medida. .
• Teremos então que:
• =+
• E fazendo simplificações algébricas, obtemos:

2(x-k)a+2(y-m)b+2(z-n)c=0

• O que resulta na equação do plano:

a.(x-k)+b.(y-m)+c.(z-n)=0

passando pelo ponto P=(k, m, n)

e com vetor ortogonal (a, b, c)

Feito isso, podemos construir planos utilizando-se dos recursos do Winplot. Vejamos.

(*)Esta demonstração se encontra na dissertação de mestrado que vem sendo desenvolvida por Pedro Carneiro, no Mestrado em Ensino de Matemática do PPGEM/UFRGS, em 2007/2.