Critérios de Corte
A figura nos sugere os seguintes cortes:

• Marcar os pontos médios D e E nos lados do triângulo.
• Marcar as quartas partes F e G no lado restante do triângulo.
• Traçar o segmento DF.
• Traçar uma reta perpendicular à DF passando por E. Chame de H o ponto de interseção.
• Traçar uma reta perpendicular à DF passando por G. Chame de I o ponto de interseção.
• As peças do quebra-cabeça estão determinadas.

A construção foi feita a partir dos seguintes movimentos:

• rotação de 180^o da peça verde em torno do ponto D.
• rotação de 180^o da peça vermelha em torno do ponto E.
• translação da peça rosa (procure identificar o vetor de translação).
• nenhum movimento foi aplicado à peça azul.

Dem.

1. As peças encaixam-se porque o triângulo foi dividido nos pontos médios e nas quartas partes.
2. As peças verde e azul ficam alinhadas após a montagem porque a soma dos ângulos destas duas peças (com o ponto D em comum) é 180^o.
3. As peças vermelha e azul ficam alinhadas após a montagem porque a soma dos ângulos destas duas peças (com o ponto E em comum) é
   180^o.
4. As peças vermelha, azul e verde ficam alinhadas porque a soma dos ângulos destas três peças (com o ponto A em comum) é 180^o .
5. Os ângulos da figura são retos, por construção.
6. Os lados opostos desta figura são congruentes (procure ver isto a partir da congruência dos triângulos FIG e EHD).
   Portanto, já podemos afirmar que esta figura é um retângulo.
   
   Vamos agora verificar se é um quadrado. Para tanto, precisamos provar a congruência de dois lados consecutivos.
   
   
7. FI + ID = 2IG (da congruência dos lados opostos).
8. Por outro lado, IG² = FI . ID (propriedade dos triângulos retângulos - olhe para o triângulo DGF).
9. De 7 e 8 temos que:
   
   Ou seja, nossa figura será um QUADRADO apenas quando as médias aritmética e geométrica de FI e ID forem iguais - o que nunca ocorre. Caso contrário, podemos apenas afirmar que nossa figura é um RETÂNGULO!
   Podemos concluir, portanto, que para que a figura seja um QUADRADO, os pontos F e G NÃO serão as quartas partes do lado BC, mas o segmento FG tem medida igual à metade do lado BC. Fica o desafio de descobrir o lugar geométrico destes pontos.
   
   Sugestão: Manipular a figura no CABRI pode auxiliar na solução deste desafio.