Procedimentos de Construção de uma Paisagem no Graphequation



SOL

Primeiramente construímos o círculo amarelo. Para isto usamos desigualdade envolvendo a equação da EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA: (Y-Yo)^2 + (X-Xo)^2 = R^2 onde: centro = (Xo, Yo) e R é o raio . Nesta figura a relação usada foi:

O que indica que as coordenadas do centro da circunferência são (-8,8) e que o raio é 1. Observa-se que para que a circunferência fique toda pintada é preciso usar um sinal de desigualdade. Este sinal < (menor), indica que serão pintados os pontos que estão no interior da circunferência.

Feito o círculo amarelo precisamos construir os raios do sol. Usamos para isto 4 relações:

Relação 1
Relação 2
Relação 3
Relação 4
Usamos a reta y=-x e limitamos o domínio ao intervalo [-10,-6] para que o raio do sol não ficasse nem muito grande nem muito pequeno. A reta usada y=x+16 é perpendicular à anterior, e pode ser vista como o deslocamento da reta y=x de 16 unidades para a esquerda no eixo dos x. Observe que o domínio é o mesmo da reta anterior Nesta relação observamos que a reta usada y=8 é uma função constante e por isso paralela ao eixo das abscissas. Novamente o domínio é o mesmo. Esta quarta relação não é uma função. O programa nos permite trabalhar com relações que não são funções.

 



MORRO


Quando vemos este morro, pensamos em quê? - Numa parábola, é claro!
Uma parábola de "cabeça para baixo" é sempre parecida com um morro ou montanha, então para darmos o efeito desejado partimos do modelo mais simples de parábola (y=x2) e fazemos algumas manipulações algébricas. A manipulação mais evidente é a troca de sinal do coeficiente de x2 que vai mudar a concavidade da parábola. Depois, modificamos a sua "abertura" e para isto multiplicamos 1/8 ao termo x2 . Para deslocá-la ao lugar desejado, devemos transladá-la horizontalmente e verticalmente. A expressão (x + 6) nos dá uma translação horizontal de 6 unidades para a esquerda. O parâmetro -3 nos dá uma translação vertical de 3 unidades para baixo.
A relação final usada na figura foi:


Observe que a desigualdade serve para pintar os pontos do plano que estão abaixo da curva.




MAR

Quais são as funções que mais se assemelham a ondas do mar? -É fácil, né? O seno e o cosseno!
Nas ondas do mar usamos duas relações:

Relação 1
Relação 2
Multiplicamos x por 2, diminuindo o período e dando a impressão de que o mar está agitado (ondas mais curtas). Multiplicamos o seno por 1/4 diminuindo a altura das ondas. E finalmente deslocamos o seno de 8 unidades para baixo.
Observe que na segunda linha foi feita uma restrição para que o mar, à esquerda, "se encaixe" no morro.

Multiplicamos o cosseno por 1/4 para diminuir a altura das ondas e o deslocamos 9 unidades para baixo, localizando-o um pouco abaixo do seno. Ao utilizar o cosseno temos as ondas defasadas das anteriores; e mais suaves já que não modificamos o período da função.
O mesmo efeito poderíamos obter usando o seno e aplicando uma álgebra conveniente.





NUVENS

Na construção das nuvens foram usadas também duas relações. Uma relação para as duas nuvens de cima e outra para as duas nuvens de baixo. Podemos observar facilmente que as nuvens foram construídas a partir de relações trigonométricas que permitem o efeito de ondulação.
RELAÇÃO 1 (BAIXO)
RELAÇÃO 2 (CIMA)

Na primeira linha temos um sistema de duas relações: a primeira delas define que a região a ser pintada está acima da linha do gráfico do cosseno e a segunda, abaixo da linha do gráfico do seno.
Observe que na segunda linha temos definida uma outra região, externa à parábola. Esta condição é que nos dá duas nuvens numa só janela de relações. VEJA a figura abaixo!
(O programa nos permite usar somente 15 janelas de relações, o que nos faz economizar janelas)
Na terceira linha nós definimos o domínio.

 Observe que as relações utilizadas na primeira linha são praticamente as mesmas que usadas na relação 1, diferindo apenas na localização em relação ao eixo dos y, definido pelos parâmetros 7 e 9.
O que temos de diferente aqui é a parábola que define a região em que não haverá nuvens. VEJA a figura abaixo!
A terceira linha nos dá o campo de existência das nossas relações.







PÁSSAROS

Para cada pássaro usamos uma relação:
Relação 1 (Pássaro da esquerda)
Relação 2 (Pássaro da direita)

Como nas nuvens, temos um sistema de duas relações que juntas definem a região a ser pintada (região que fica acima do gráfico em vermelho e abaixo do gráfico em azul) na figura abaixo.
Na segunda linha temos o campo de existência das relações.
Observe que para dar o efeito da asa do pássaro (uma mais fina que a outra) utilizou-se o recurso de defasagem: fazendo o valor que multiplica x variar de 0,1 unidade (que alterará o período) e subtraindo-se 0.2 unidades.
OBSERVE a figura abaixo!

 Observe que as relações utilizadas na primeira linha são praticamente as mesmas que usadas na relação 1, diferindo apenas na localização em relação ao eixo dos y, definido pelo parâmetro 7.
A segunda linha nos dá o campo de existência das nossas relações.





ÁRVORE

Para construir a árvore primeiramente construímos o tronco e depois a copa. Usamos para isto duas relações.
É fácil de perceber que a relação usada no tronco é um pedaço de parábola.
Já a relação usada na copa não é tão evidente. Em sua construção foi utilizada uma circunferência para delimitar a copa e relações trigonométricas para dar o efeito de folhas:

Relação 1
Relação 2

Para fazermos o tronco da árvore pintamos a região limitada por duas parábolas com uma unidade de deslocamento vertical, que nos dá a espessura do caule.
Observe que na segunda linha delimitamos um pouco mais a região de maneira que o tronco iniciasse no topo do morro.
Cortamos ainda mais a região delimitando o domínio na linha 3.
VEJA a figura abaixo:

 Na primeira linha temos a relação de uma circunferência, criada para dar o "contorno" à copa da árvore.
Para que a copa não ficasse monótona, com algumas manipulações algébricas no seno e cosseno conseguimos um "efeito" interessante.


Agora que você já sabe usar um pouco mais dos recursos do Graphequation, JUNTE seus conhecimentos matemáticos COM sua criatividade e MÃOS À OBRA !!


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