Oficina 2 - Desigualdades de uma variável real



Nesta oficina, queremos trabalhar os aspectos mais relevantes envolvendo a resolução algébrica de desigualdades (ou inequações) . Importantes tarefas como traçado de gráficos, por exemplo, requerem que seja determinado previamente o conjunto de valores admissíveis para uma variável independente, que é o chamado domínio natural, no contexto de funções de uma variável real.

Primeiro exemplo: considere variáveis x e y relacionadas por $\displaystyle y = \sqrt{1 - \frac{2}{x} }$ . Para ser um valor admissível para x, isto é para estar no domínio da função que determina y para valores x dados, x deve satisfazer $\displaystyle 1 - \frac{2}{x} > 0, x \neq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x} < 1, x \neq 0 $ e assim concluímos que $ x < 0 \mbox{ ou } x > 2 $ determina o domínio ao qual x deve pertencer, uma vez que ou o numerador é nulo ou tem o mesmo sinal do denominador, que não pode ser nulo.

Segundo exemplo: considere variáveis x e y relacionadas por $\displaystyle y^2 + 3y + 3x = 6$ . Temos aqui uma função (ainda vagamente definida) que associa um valor x a um valor y que satisfaz a equação anterior, mas não temos uma expressão analítica. Para um valor de $x$ dado, a determinação de $y$ corresponde a solução de uma equação do segundo grau (em $y$). Assim, para a existência de raizes reais, e necessário que $\displaystyle \Delta = 3^2 - 4(1)(3x-6) \geq 0$, ou seja, que $\displaystyle 33 - 12 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{33}{12} \Leftrightarrow x \leq \frac{11}{4}$, o que então determina uma restrição para os valores de $x$.

Sobre as regras mais essenciais para a manipulação de desigualdades, lembramos que são assunto da Escola Básica, e indicamos recursos aqui; aqui e aqui.

A classificação a seguir norteará o desenvolvimento dessa oficina.




Caso 1 - desigualdades do primeiro grau.

Podem ser reduzidas a $A x < B$ ou $Ax \leq B$ onde $A$ pode ser negativo. São as que tem solução mais simples.

(A): resolver a desigualdade $\displaystyle \frac{x}{2} + 2 \leq 1 - \frac{x}{3}$

$\displaystyle \frac{x}{2} + 2 \leq 1 - \frac{x}{3} \Leftrightarrow \left( \frac... ...eq 1-2 \Leftrightarrow \frac{5x}{6} \leq -1 \Leftrightarrow x \leq -\frac{6}{5}$ e assim $S = \displaystyle \left\{ x: x \leq -\frac{6}{5} \right\}$


Caso 2 - desigualdades do segundo grau.

Em muitas situações, a desigualdade é manipulada até obter-se uma inequação do segundo grau, que pode ser reduzida a

$A x^2 + B x + C < 0$ ou $A x^2 + Bx + C \leq 0$, onde $A$ pode ser negativo. A solução então emprega fatos sobre o sinal de parábolas :

Veja os dois desenvolvimentos abaixo.
(B): resolver a desigualdade $\displaystyle 2x^2 - x - 4 > 0$

Calculamos $\Delta = (-1)^2 -4(2)(-4) = 33$ . Trata-se de uma parabola voltada para cima que possui 2 raizes reais. Portanto assume valores negativo a esquerda da menor raiz e a direita da maior. Segue $S = \displaystyle \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{33}}{4} \right) \bigcup \left( \frac{1+\sqrt{33}}{4} , \infty \right)$.

(C) $\displaystyle \frac{1}{2+3\sqrt{x}} > \sqrt{x} \Leftrightarrow a(2+3a) < 1, a = \sqrt{x} \Leftrightarrow 3a^2+2a-1 < 0 $ e a equação do segundo grau tem raízes: $-1$ e $1/3$ e portanto $\displaystyle -1 < a=\sqrt{x} < \frac{1}{3} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{1}{9}$ determina o domínio ao qual x deve pertencer.


Caso 3 - desigualdades cuja solução passa por análise de sinais.


Uma estratégia mais complexa, mas que, com o devido cuidado, sempre funciona, consiste em escrever a desigualdade colocando todos os termos em um único lado, dessa forma comparando com zero uma expressão da forma $\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)} $ , mas tal que os termos $\displaystyle u(x) $ e $\displaystyle v(x) $ possam ser escritos como produto de termos simples, isto é fatorados. Uma vez que todos os fatores forem determinados, podemos determinar a resposta da desigualdade combinando as réguas de sinal de todos os termos envolvidos, como nos exemplos que seguem.
(D) Para determinar o domínio da função $\displaystyle f(x)=\sqrt{ 1 + \frac{1}{x} } + 4 $ :
$\displaystyle 1 + \frac{1}{x} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x+1}{x} \geq 0$ e precisamos analisar e combinar as réguas de sinais dos fatores $x+1$ e $x$, construindo a régua de sinais de $\displaystyle \frac{x+1}{x} $:

e então $\displaystyle S=\{ x: x \leq -1 \mbox{ ou } x > 0 \}$ ou ainda $\displaystyle S= \left( -\infty,-1 \right] \bigcup \left( 0, \infty \right)$.

(E) $\displaystyle \frac{2}{z}-z < 1 \Leftrightarrow \frac{2-z-z^2}{z} < 0 $ e então, para tornar a análise mais simples, tornamos positivos os termos de mais alto grau (numerador e denominador):
$\displaystyle \frac{z^2+z-2}{z} > 0 $ e como o numerador tem raízes $z=1$ e $z=-2$ e o denominador é simples, escrevemos $\displaystyle \frac{(z+2)(z-1)}{z} > 0$ e construímos

e assim $\displaystyle S = \left(-2,0 \right) \bigcup \left( 1, \infty \right)$ .

(F): resolver a desigualdade $\displaystyle \frac{6}{2+3\sqrt{x}} \leq 2$

$\displaystyle \frac{6}{2+3\sqrt{x}} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{6 - 2(2 + ... ...3\sqrt{x}} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2 - 6 \sqrt{x}}{2 + 3 \sqrt{x}} \leq 0 $

como o denominador é positivo, é equivalente a $2 - 6 \sqrt{x} \leq 0 \Leftrightarrow 6 \sqrt{x} \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq \frac{1}{3} \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{9}$

(G): resolver a desigualdade $\displaystyle \frac{6}{2-3\sqrt{x}} \leq 2$

$\displaystyle \frac{6}{2-3\sqrt{x}} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{6 - 2(2 - ... ...3\sqrt{x}} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2 + 6 \sqrt{x}}{2 - 3 \sqrt{x}} \leq 0 $

como o numerador é positivo, é equivalente a $2 - 3 \sqrt{x} < 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} > 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} > \frac{2}{3} \Leftrightarrow x \geq \frac{4}{9}$

(H): resolver a desigualdade $\displaystyle \frac{5x}{2-x} \leq 2$

$\displaystyle \frac{5x}{2-x} - 2 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{5x-2(2-x)}{2-x} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{7x-4}{2-x} \leq 0$ e então concluímos $S = \left( -\infty, \frac{4}{7} \right] \bigcup (2,\infty)$

após analisar

JBC, 03/03/2015, 30/7/2015, 16/9/2017