Ajuste de Modelo em Sistemas Positivo Semi-definidos usando Dados Modais Incompletos

No contexto de um modelo $(M,D,K)$ que representa um sistema que vibra governado por

$\displaystyle
M \ddot{q}(t) + D \dot{q}(t) + K q(t) = 0 $,
onde $M, D$ e $K$ são as matrizes de massa, amortecimento, e rigidez, muito frequentemente algumas frequências naturais e modos de vibrações (autovalores e autovetores) não correspondem àqueles obtidos em um teste de vibração da estrutura sendo modelada. Neste caso, a representação precisa ser ajustada, para que possamos garantir sua validade para uso futuro.

O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), estabelece, no caso não -amortecido, como definir uma matriz atualizada $\tilde{K}$ tal que parte do espectro permaneça inalterada.

Teorema 1 :

Considere o modelo positivo semi-definido $(M,D,K)$ sem amortecimento, isto é, $D = 0$. Sejam matrizes $\Lambda \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$ e $X \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$, que representam a estrutura modal do modelo, satisfazendo


\begin{displaymath}
M X \Lambda^2 + K X = 0
\end{displaymath} (1)

e sendo particionada via
\begin{displaymath}
\Lambda = \left[ \begin{array}{cc} \Lambda_1 & \\ & \Lambda...
...
X = \left[ \begin{array}{cc} X_1 & X_2 \end{array} \right].
\end{displaymath} (2)

Suponha que as submatrizes diagonais $\Lambda_1$ e $\Lambda_2$ não tenham nenhuma componente não -nula comum. Então , para cada matriz simétrica $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$, a matriz simétrica atualizada $\tilde{K}$ definida por
\begin{displaymath}
\tilde{K} = K - M X_1 \Phi X_1^T M
\end{displaymath} (3)

assegura que
\begin{displaymath}
M X_2 \Lambda_2^2 + \tilde{K} X_2 = 0,
\end{displaymath} (4)

o que significa que o resto do espectro não muda.

$\Box$

Suponha agora que um conjunto incompleto de dados modais é disponível, o que significa que um conjunto de $m$ frequências naturais e $m$ modos incompletos correspondentes (somente possuem as primeiras $m$ componentes) são conhecidos a partir de medição . Assuma que essa informação está contida em matrizes $\Sigma_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $Y_{11} \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$; a primeira para as frequências, a última para os modos incompletos. O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), mostra como calcular $\Phi$ tal que a matriz $\tilde{K}$ satisfaça

\begin{displaymath}
M Y_1 \Sigma_1^2 + \tilde{K} Y_1 = 0,
\end{displaymath} (5)

o que significa que a informação medida é incorporada ao modelo atualizado, onde
\begin{displaymath}
Y_1 = \left[ \begin{array}{c}
Y_{11} \\ Y_{12}
\end{array} \right].
\end{displaymath} (6)

O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), estabelece como definir a matriz $\Phi$ tal que os dados medidos sejam incorporados ao modelo atualizado.

Teorema 2: Suponha que a matriz $MX_1$ tenha posto máximo e

$\displaystyle
M X_1 = \left[ \begin{array}{cc} U_1 & U_2 \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} Z \\ 0 \end{array} \right]. $

$\displaystyle M = \left[ \begin{array}{cc} M_1 & M_2 \end{array} \right]$

$\displaystyle K = \left[ \begin{array}{cc} K_1 & K_2 \end{array} \right]$
onde $M_1, K_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$ e $M_2, K_2 \in {\mathbb{R}}^{n \times (n-m)}$.

Entao a matriz $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ que assegura ([*]) existe se e somente se a submatriz $Y_{12}$ é tal que

\begin{displaymath}
U_2^T M_2 Y_{12} \Sigma_1^2 + U_2^T K_2 Y_{12} =
-U_2^T( K_1 Y_{11} + M_1 Y_{11} \Sigma_1^2 ).
\end{displaymath} (7)

$\Box$

Teorema 3: Uma vez que $Y_{12}$ é calculado de modo que equacao ([*]) seja satisfeita, we formarmos a matriz $Y_1$ usando ([*]), e pós-multiplicarmos $Y_1$ para uma nova $Y_1$ tal que $Y_1^T M Y_1$ seja uma matriz diagonal, e calcularmos $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir de

\begin{displaymath}
Y_1^T M Y_1 \Sigma_1^2 + Y_1^T K Y_1 = ( Y_1^T M X_1 ) \Phi (Y_1^T M X_1)^T
\end{displaymath} (8)

então a equação ([*]) é satisfeita.

$\Box$

Um algoritmo para solução do problema de Ajuste de Modelo a partir de Dados Medidos Incompletos é proposto:


Algoritmo 1: : Ajuste de um modelo simétrico positivo semi-definido usando dados medidos incompletos

Entrada: As matrizes simétricas $M, K \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$; o conjunto de $m$ frequências e modos de vibração a serem atualizados; o conjunto de $m$ frequências e modos de vibração medidos a partir do teste de vibração .

Saída: Matriz de rigidez atualizada $\tilde{K}$.

Hipótese: $M = M^T \geq 0$ , $K = K^T \geq 0$, $MX_1$ tem posto máximo.

Passo 1: Forme as matrizes $\Sigma_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $Y_{11} \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir dos dados disponíveis. Forme as matrizes correspondentes $\Lambda_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $X_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$.

Passo 2: Compute the matrices $U_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$, $U_2 \in {\mathbb{R}}^{n \times (n-m)}$, and $Z \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir da fatorização QR:

$\displaystyle M X_1 = \left[ \begin{array}{cc}
U_1 & U_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c}
Z \\ 0 \end{array} \right]$ .

Passo 3: Particione $M = \left[ \begin{array}{cc}
M_1 & M_2 \end{array} \right] , K = \left[ \begin{array}{cc}
K_1 & K_2 \end{array} \right]$ onde $M_1, K_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$.

Passo 4: Resolva a seguinte equação matricial para obter $Y_{12} \in {\mathbb{R}}^{(n-m)\times m}$:

$\displaystyle U_2^T M_2 Y_{12} \Sigma_1^2 + U_2^T K_2 Y_{12} =
-U_2^T [ K_1 Y_{11} + M_1 Y_{11} \Sigma_1^2 ]$
e forme a matriz
$\displaystyle Y_1 = \left[ \begin{array}{c} Y_{11} \\ Y_{12} \end{array} \right]$.

Passo 5: Calcule a matriz $U \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$ dada pela decomposição em valores singulars (SVD) de $Y_1^T M Y_1$. Atualize a matriz $Y_1$ via $\displaystyle Y_1 \leftarrow Y_1 U $.

Passo 6: Calcule $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ resolvendo o seguinte sistema de equações :

$\displaystyle (Y_1^T M X_1) \Phi (Y_1^T M X_1)^T =
Y_1^T M Y_1 (\Sigma_1)^2 + Y_1^T K Y_1 $ .




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Joao Carvalho 2006-03-17