Observadores Funcionais para Sistemas Generalizados de Primeira Ordem

A teoria de estimação de estado foi recentemente generalizada para sistemas generalizados de primeira ordem através da solução da equação do Observador Generalizado de Sylvester.

Um dos grandes problemas que ainda persistem é que o sistema linear de onde a aproximação é finalmente calculada pode ser extremamente mal condicionado, trazendo sérias limitações à essa abordagem. Essa é a grande motivação para o desenvolvimento de observadores funcionais, que têm por estratégia básica estimar diretamente o vetor $Kx(t)$, sem estimar o vetor de estado $x(t)$.

A estratégia básica proposta é a construção , por blocos, de um tripla de soluções $(X,F,G)$ da equação do Observador de Sylvester

$$A X - F X E = G C$$

com a propriedade adicional

$$X_1 E = K - G_1 C$$

onde $X_1$ é o primeiro dos blocos que formam a matriz $X$ e $G_1$ é qualquer.

Usando o resultado básico

$$z(t) - X E x(t) \rightarrow 0 \ \ \mbox{ao} \ t \rightarrow \infty$$

temos

$$K x(t) = X_1 E x(t) - G_1 C x(t)$$

e como consequência

$$K x(t) - (z_1(t) - G_1 y(t)) \rightarrow 0 \ \ \mbox{ao} \ t \rightarrow \infty,$$

onde $z_1$ contém as primeiras $m$ componentes do vetor de estado $z$. A figura abaixo ( Simulink ) mostra como o observador functional é acoplado à planta do sistema generalizado de primeira ordem.