Estimação de Estado:

A teoria de estimação de estado foi estabelecida por David Luenberger em

• Observing the State of a Linear System. IEEE Trans. Mil. Electr., 8, pp 74-80, 1964.
• Observers for Multivariable Systems. IEEE Trans. Aut. Contr. AC-11, pp. 190-197, 1966.

para sistemas clássicos de primeira ordem

$$\begin{array}{l} \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) \\ y(t) = C x(t) \end{array}$$

que são controlados via

$$u(t) = v(t) + K x(t)$$.

Quando o projetista da planta não tem informação sobre o vetor de estado $x(t)$ ou alguma de suas componentes, essas quantidades devem ser estimadas para que a lei de controle acima possa ser aplicada à planta.

Para tal, foi sugerida a construção de um sistema observador governado por

$$\dot{z}(t) = F z(t) + G y(t) + X B u(t)$$

com qualquer condição inicial, onde os parâmetros matriciais $(X,F,G)$ satisfazem a equação do Observador de Silvester

$$X A - F X = G C$$

sob as hipóteses:

• $(A,C)$ é observável;
• $(F,G)$ é controlável;
• $F$ é uma matriz estável.

Pode-se mostrar que o estado $z(t)$ do sistema observador verifica

$$z(t) - X x(t) \rightarrow 0 \ , \ \mbox{ao} r \rightarrow \infty$$

e então uma estimativa assintótica $\hat{x}(t)$ é dada por

$$\left[ \begin{array}{c} X \\ C \end{array} \right] \hat{x}(t) = \left[ \begin{array}{c} z(t) \\ y(t) \end{array} \right]$$

O sistema observador é então acoplado ao sistema, como mostra a figura abaixo ( Simulink ).