É verdade que $\displaystyle 0.9999\bar{9} = 1 \mbox{ ? } $

Processos de limite bastante interessantes envolvem a construção dos próprios números reais de nossa aritmética. Apesar de podermos levantar objeção sobre a construção do número $1$, pois é um número que está presente desde o princípio (como inverso multiplicativo), considere a seguinte construção:

Seja $S$ o número que existe no LIMITE do seguinte processo:

$\displaystyle \begin{array}{l}
0.9 \\
0.99 \\
0.999 \\
0.9999 \\
0.99999 \\
0.999999 \\
\dots \\
0.99999\bar{9} = S
\end{array}$

Interessante, e útil, é observar que

$\displaystyle 10 S = 9.99999\bar{9} = 9 + S $
e então concluímos que $\displaystyle 9 S = 9 \Rightarrow S = 1 $ !!

Assim, vemos que um mesmo número real pode ter representações distintas.

Considere agora o seguinte processo analítico:

$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1/4}{1-1/4} $
À esquerda, vemos o conhecido número $\displaystyle 1/3$. À direita, vemos a conhecida expressão para soma de uma sequência de números que estão em progressão geométrica decrescente, a partir de $a_0 = 1/4$, e com razão $q = 1/4$. Dessa forma, escrevemos
$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} +
\frac{1}{4^3} + \dots + = 2^{-2} + 2^{-4} + 2^{-6} + 2^{-8} + \dots $
Finalmente, obtemos a representação binária (isto é, em base 2) do número $1/3$:
$\displaystyle \frac{1}{3} = (0.01010101\overline{01})_2$
em usual notação.



Joao Batista Carvalho 2013-03-27