Estudo de Caso: aumento da exatidão na avaliação de $e^x$ via Série de Taylor

Ao computador, a exponencial de um número real $x$ pode ser calculada através de sua série ou expansão de Taylor:

$$\exp(x) = e^x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i \ !} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots +$$

Escolhemos $x= \ln(5)$, por simplicidade (para que conheçamos a resposta exata $e^x = 5$). Os termos parciais

$$s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i \ !} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n \ !}$$

podem então ser avaliados, em Scilab:

$--\hspace{-.1cm}>$ sn = 1; nmax = 8; z=1; x = log(5); // comentario: exp(x)=5 //

$--\hspace{-.1cm}>$ format("v",16)

$--\hspace{-.1cm}>$ for n=1:nmax

$--\hspace{-.1cm}>$ z = x*z/n; sn = sn + z;[n sn abs(sn-5)]

$--\hspace{-.1cm}>$ end

Sendo $\delta_n = digse(s_n, 5)$, a tabela abaixo mostra como evolui a exatidão das aproximações ao valor exato $e^x = 5$, quando a medida inteira da exatidão (d.s.e) é utilizada, e quando a medida contínua da exatidão (digse) é utilizada.

$n$	$s_n$	erro abs	d.s.e.	$\delta_n$
1	2.609437912434101	2.39	0	0.019
2	3.904583109424218	1.09	0	0.358
3	4.599401703471827	0.40	1	0.796
4	4.878968550352922	0.12	1	1.315
5	4.968957646838940	0.031	2	1.906
6	4.993096290770655	0.0069	2	2.556
7	4.998646240584719	0.00135	3	3.267
8	4.999762778040077	0.00023	4	4.022

Teorema: relação entre a medida digse e a medida d.s.e

A medida em digse não difere da medida em d.s.e (dígitos significativos exatos) mais do que 1 unidade, para mais ou para menos.

Demonstração: seja $r = (-1)^{s_r} m_r 10^{e_r}$.

O $m$-ésimo algarismo (depois do ponto decimal) de uma aproximação $r^{*}$ de $r$ é o último correto se e somente se

$$0.5 \times 10^{-(m+1)} \leq \vert r - r^{*}\vert \leq 0.5 \times 10^{-m}$$ (1)

ao passo que o número de dígitos significativos exatos dessa aproximação (d.s.e) é determinado por $d_s = m + e_r$, lembrando que $e_r$ é o expoente de $r$, conforme já definido.

Sendo $d$ a medida da exatidão em digses, sabemos que

$$d = - \log_{10} \left( \frac{2 \vert r - r^{*}\vert}{\vert r\vert} \right)$$ (2)

e então

$$10^{-d} = \frac{2 \vert r - r^{*}\vert}{\vert r\vert} .$$ (3)

De (1) temos

$$10^{-(m+1)} \leq 2 \vert r - r^{*}\vert \leq 10^{-m} \Leftrightar... ... 10^{-(m+1)-e_r} \leq \frac{2 \vert r - r^{*}\vert}{10^{e_r}} \leq 10^{-m-e_r}$$

$$10^{-d_s-1} \leq \frac{2 \vert r - r^{*}\vert}{10^{e_r}} \leq 10^... ...- r^{*}\vert}{\vert r\vert} \cdot \frac{\vert r\vert}{10^{e_r}} \leq 10^{-d_s}$$

e então segue que

$$10^{-d_s-1} \leq 10^{-d} m_r \leq 10^{-d_s}$$ (4)

o que é equivalente a $$-(d_s + 1) \leq -d + \log_{10} m_r \leq -d_s$$, e assim temos

$$d_s \leq d + u \leq d_s + 1$$ (5)

onde $u = -\log{10} m_r$. Entretanto, como $0.1 \leq m_r < 1$, sabemos que $0 < u \leq 1$.

A primeira desigualdade, combinada com $u \leq 1$, implica $d \geq d_s - 1$. A segunda desigualdade, combinada com $u > 0$, implica $d \leq d_s + 1$. Dessa forma segue que $d_s -1 \leq d \leq d_s + 1$, conforme queríamos mostrar.