Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01169 - Cálculo Numérico
Estudo de Caso - Distância entre duas trajetórias no plano

Objetivo: no contexto de otimização de uma função de duas variáveis, localizar e separar soluções e resolver pelo método de Newton.

Problema matemático: Dadas duas curvas planas $C_1$ e $C_2$ parametrizadas por $C_1 = \{( p_1(x), q_1(x) ) \}$, $C_2 = \{ (p_2(y), q_2(y)) \}$, onde $x$ e $y$ são os respectivos parametrizadores, sujeitos, possivelmente, a restrições das funções $p_i$ ou $q_i$, $i=1,2$, a distância $D$ entre essas duas curvas satisfaz

$$D^2 = \min_{x,y} f(x,y)= \min_{x,y} \ \ (p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2$$

Método: sabemos que o ponto de mínimo absoluto $(x^{*},y^{*})$ satisfaz:

1. é ponto de mínimo local satisfazendo $\nabla f = 0$, OU
2. é ponto de mínimo local e de não diferenciabilidade de $f$, OU
3. está na fronteira de possível restrição desse problema.

Tarefa: encontre a distância entre $$C_1 = \{ (x,x^2), x \in {\mathbb{R}}\}$$ e $$C_2 = \{ (y,\ln(y)), y > 0\}$$.

Temos $$f(x,y) = (x-y)^2 + (x^2 - \ln(y))^2$$ e então

$$\nabla f = \left[ \begin{array}{l} 2(x-y) + 2(x^2-\ln(y))2x \\ -2(x-y) - 2(x^2 -\ln(y))(1/y) \end{array} \right]$$

e após simplificações temos

$$\left\{ \begin{array}{ll} x-y + 2x^3 - 2x \ln(y) & = 0 \\ xy - y^2 + x^2 - \ln(y) & = 0 \end{array} \right.$$

Para aplicação do método de Newton, temos

$$F \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \righ... ...ray}{l} x - y + 2x^3 - 2x \ln(y) \\ xy - y^2 + x^2 - \ln(y) \end{array} \right]$$

$$JF \left( \left[ \begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right] \rig... ...{ll} 1 + 6x^2-2\ln(y) & -1 - 2x/y \\ y + 2x & x - 2y - 1/y \end{array} \right]$$

Por outro lado, as curvas de nivel de $f(x,y)$, abaixo, indicam um ponto de máximo local e absoluto proximo a $(0.5,1.0)$.

A tabela abaixo mostra as poucas iterações necessarias para convergencia do metodo de Newton (veja script em Scilab):

$k$	$x_k$	$y_k$
0	0.5	1.
1	0.5555556	0.9444444
2	0.5383050	0.9290010
3	0.5381678	0.9290785
4	0.5381677	0.9290784
5	0.5381677	0.9290784

e assim temos a solução $(x^{*},y^{*})=(0.5381677,0.9290784)$, que corresponde a uma distancia $$D = \sqrt{ (x^{*}-y^{*})^2 + ((x^{*})^2-\ln(y^{*}))^2} = 0.5335876$$.