Mat01169: Cálculo Numérico
Estudo de Caso: derivação numérica usando tabelas

Problema: dada um conjunto de dados $\{(x_0,y_0),(x_1,y_1), \dots
, (x_n,y_n)\}$ de duas variáveis $x$ e $y$, onde sabemos que $y$ é função de $x$, e dado um valor $u$ que esteja ENTRE ao menos dois dos valores $x_i$ mencionados, queremos encontrar, numericamente, o valor da taxa de variação $dy/dx$ quando $x=u$, ou seja, queremos calcular a derivada de uma função (que talvez não conheçamos), em $x=u$.

Vamos supor que os pontos $x_0,x_1,\dots,x_n$ são igualmente espaçados, e que o valor desse espaçamento é $h$, isto é, $\displaystyle x_i = x_0 + i h, i=0,1,2,\dots, n $ .

Assim, definimos a diferença finita ascendente (de primeira ordem) de $f$ no ponto $x_i$ por

$\displaystyle \triangle f (x_i) = f(x_{i+1})-f(x_i).$
A seguir, definimos diferenças finitas ascendentes de ordem mais alta recursivamente:
$\displaystyle \triangle^k f(x_i) = \triangle^{k-1} f(x_{i+1})-\triangle^{k-1} f(x_i)$, $k=2,3,\dots$
A fórmula de Newton via diferenças divididas para o polinômio interpolador de grau $\leq n$ sobre um conjunto de dados $(x_i,f(x_i)),i=0,1,\dots,n$ é dada por
$\displaystyle \phi(u) = \sum_{k=0}^n \triangle^k f(x_0) \left(\begin{array}{c}
s \\ k \end{array} \right) \ , \ s = \frac{u-x_0}{h} $
onde
$\displaystyle \left(\begin{array}{c} s \\ 0 \end{array} \right) = 1$, $\displaystyle \left(\begin{array}{c} s \\ k \end{array} \right)
= \frac{s(s-1)\dots(s-(k-1))}{k!}$ , e $\triangle^0 f(x_0)=f(x_0)$.
Colocando em uma única expressão, com os 6 primeiros termos:
$\displaystyle \Phi(u) =
f(x_0) + \triangle f (x_0) s + \triangle^2 f(x_0) \frac{s(s-1)}{2} +
\triangle^3 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)}{6} + $

$\displaystyle + \triangle^4 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{24}
+ \triangle^5 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)}{120} + \dots + $
e assim, usando regra da cadeia e o pacote Maple para derivar em relação a $s$,
$\displaystyle \Phi'(u) = \frac{1}{h} \left[
\triangle f (x_0) + \frac{\triangl...
...aystyle \frac{\triangle^3 f (x_0)}{6} \left( 3s^2 - 6s + 2 \right) +
\right. $

$\displaystyle + \left. \frac{\triangle^4 f (x_0)}{24}\left( 4s^3-18s^2+22s-6\ri...
...^5 f (x_0)}{120}\left( 5s^4-40s^3+105s^2-100s + 24 \right) +
\dots + \right] $

Exemplo: Abaixo relacionamos a temperatura $T$ (Celsius) com a pressão de vapor $P$(Psig) do gás R134-A:

$T$ -9 -6 -3 0 3
$P$ 12.21 15.59 19.31 23.37 27.79
Queremos interpolar $P$ e dP/dT para $T = -2$ graus Celsius.

Solução: Temos $h=3$, $s=(-2+9)/3=2.33333$, e uma tabela de diferenças finitas ascendentes

12.21 3.38 0.34 0.00 0.02
15.59 3.72 0.34 0.02
19.31 4.06 0.36
23.37 4.42
27.79
e assim
$\displaystyle \phi(-2) = 12.21 + 3.38 s + 0.34 s(s-1)/2
+ (0) s(s-1)(s-2)/6 + $

$+ 0.02 s(s-1)(s-2)(s-3)/24= 20.624979$

$\displaystyle \phi'(-2) = \frac{1}{3} \left[ 3.38 + 0.34 (2s-1)/2
+ (0) (3s^2 -6s + 2)/6 + \right. $

$ \left. + 0.02 (4s^3-18s^2+22s-6)/24 \right]=1.33393 $



JB Carvalho 2012-03-07