Mat01169 - UFRGS

Exemplo de método numérico iterativo e determinístico

Método de Hutton para Pi.

Sendo $\theta$ e $\sigma$ tais que $$\tan \theta = 1/2$$ e $$\tan \sigma = 1/3$$, temos

$$\tan(\theta + \sigma) = \frac{1/2+1/3}{1-(1/2)(1/3)} = \frac{3/6+2/6}{1-1/6}=1$$

e assim $$\pi/4 = \mbox{atan} (1/2) + \mbox{atan} (1/3)$$.

Como um aperfeiçoamento do Método da Série de Leibniz, podemos escrever

$$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n (1/2)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^n (1/3)^{2n+1}}{2n+1} \right]$$

ou ainda

$$\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n$$, onde $$s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac{4 (-1)^i (3^{2i+1}+ 2^{2i+1})}{6^{2i+1} (2i+1)}$$

Medindo a exatidão, seja

$$d_n = digse(s_{n-1},s_n) = -log_{10} \left( 2 \left\vert \frac{s_{n-1}-s_n}{s_n} \right\vert \right)$$

Abaixo podemos visualizar as aproximações e classificar esse método com relação ao aumento da exatidão. Um script em Scilab foi usado para gerar os valores mostrados, e não Javascript .

n	an	dn	n	an	dn

Podemos observar que o acréscimo de exatidão é de aproximadamente 0.62 digse/iter, e assim a convergência é linear.