Mat01169 - UFRGS

Avaliação numérica de e^x

A conhecida Série de Taylor para a exponencial é o caminho para que máquina digital calcule $e^x$ para um número $x$ qualquer dado (raio de convergência é infinito).

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \ , \ x \in {\mathbb{R}}$$ .

Dessa forma, para qualquer $x$ dado,

$$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n$$, onde $$s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i!}$$

Apesar da convergência estar garantida para qualquer $x$, será mais rápida quanto menor for a sua magnitude (por causa do termo $x^n$), e assim, sendo $\lfloor x \rfloor$ o solo de $x$ (maior inteiro menor ou igual a $x$), temos

$$e^x = e^{\lfloor x \rfloor + u} = e^{\lfloor x \rfloor} \cdot e^u$$

e basta avaliar $e^u$, onde $0 \leq u < 1$ (se $x$ é positivo, $u$ é a parte fracionária de $x$), uma vez que o primeiro fator pode ser calculado usando produtos e, possivelmente, 1 divisão no caso de $x$ ser negativo.

Medindo a evolução da exatidão, seja

$$d_n = digse(s_{n-1},s_n) = -log_{10} \left( 2 \left\vert \frac{s_{n-1}-s_n}{s_n} \right\vert \right)$$

Vamos interagir ? forneça um valor para x: