Mat01099 - Seminário Integrador III - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

Matrizes 4: Aplicações a sistemas discretos, cadeias de Markov

Ref.: [1] David Luenberger. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models and Applications, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1979.

Exemplo 1: Sequência de Fibonacci, pág 34 de [1]. Obter a expressão geral; escrever a recorrência na forma matricial $u_{k+1}=A u_k$, encontrar autovalores da matriz $A$ e comparar. Simular em Scilab.

Exemplo 2: Modelo Populacional de classes (cohorts), págs 5 e 170 de [1]. Considerar um modelo ${\bf x_{k+1}} = A {\bf x_k} + {\bf b}$, com 6 estágios, sem imigração $({\bf b}=0)$, de uma população que tem expectativa de vida de 5 meses (raríssimos passam dos 6 meses). São considerados adultos, para procriação, indivíduos entre $2$ e $4$ meses de vida.

$u_i$: indivíduos que tem entre $i-1$ e $i$ meses de vida, $i=1,2,3,4,5,6$.

$$A = \left[ \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0.8 & 0.7 & 0 & 0 \\ 0.... ... 0 & 0 & 0 & 0.6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.3 & 0 \\ \end{array} \right]$$

Determine se o crescimento da população é sustentável.

Solução: Calculando os autovalores e suas magnitudes, em Scilab

$$\left\{ \begin{array}{ll} \lambda & \vert\lambda\vert \\ 0 & 0... ...21 - 0.8342760i & 0.8684718 \\ - 0.5199884 & 0.5199884 \end{array} \right\}$$

temos um autovalor fora do círculo unitário, e concluímos que o crescimento é sustentável.