Mat01099 - Seminário Integrador III - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

Matrizes 3: Mais consequências da Decomposição Espectral .

Ref.: David Luenberger. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models and Applications, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1979.

5.

podemos extender funções analíticas $f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}$, para espaços de matrizes diagonalizáveis: seja $F : {\mathbb{R}}^{n \times n} \rightarrow {\mathbb{R}}^{n \times n}$:

$$F(A) = F( X \Lambda X^{-1} ) = X \left[ \begin{array}{cccc} f(\la... ...bda_2) & & \\ & & \dots & \\ & & & f(\lambda_n) \end{array} \right] X^{-1}$$

desde que as quantidades $f(\lambda_i)$ , $i=1,2,\dots,n$ estejam bem definidas. Exemplos: exponencial, seno e cosseno matriciais via $f(x) = e^x$, $f(x) = \mbox{sen} \, (x)$, $f(x)=\cos(x)$.

6.

para $f(x) = (1-x)^{-1}$. $-1 < x < 1$: seja matriz $A \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$ tal que $A^k \rightarrow 0$ ao $k \rightarrow \infty$, isto é, tal que todos os seus autovalores são interiores ao círculo unitário do plano complexo. Então

$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \dots + A^k + \dots$$

Define $S_k = I + A + \dots + A^k$, então

$$(I-A) S_k = S_k - A S_k = I - A^{k+1} \Rightarrow \lim_{k \righta... ...) \lim_{k \rightarrow \infty} S_k = I - \lim_{k \rightarrow \infty} A^{k+1} = I$$.

e assim $$\lim_{k \rightarrow \infty} S_k = (I-A)^{-1}$$.

7.

se $M$ tem autovalores no círculo de centro $1 + 0 i$ (do plano complexo) e raio unitário, então $I-M$ tem autovalores no interior do círculo unitário (do plano complexo), então a solução do sistema linear $M x = b$ pode ser encontrada iterativamente: para $A = I - M$, a quantidade $S_k$ definida acima satisfaz $S_{k+1} = I + A S_k$ e para $x_k = S_k b$ temos $x_{k+1} = (I + A S_k) b = b + A x_k$, $k=0,1,2,\dots$. Exemplo: $M = \left[ \begin{array}{cc} 1.1 & -0.4 \\ 0.4 & 0.4 \end{array} \right], b= \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right]$, $A = I - M = \left[ \begin{array}{cc} -0.1 & 0.4 \\ -0.4 & 0.6 \end{array} \right]$ e temos

$k$	$x_k^T$		$k$	$x_k^T$
0	2.	1.	5	1.9995	0.498
1	2.2	0.8	6	1.99925	0.499
2	2.1	0.6	7	1.999675	0.4997
3	2.03	0.52	8	1.9999125	0.49995
4	2.005	0.5	9	1.9999887	0.500005