Mat01099 - Seminário Integrador III - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

construção de números reais: método de Cauchy e método de Dedekind

Trabalharemos aqui duas estratégias que nos ajudam a entender como a existência de números reais é estabelecida axiomaticamente, de uma maneira construtiva. Nosso objetivo aqui é expor o assunto de maneira a justificar construções que exercitaremos interativamente. Para uma referência que trate do assunto com autoridade veja Mathematical Analysis: A modern approach to advanced calculus, por Tom Apostol.

Construção de Cauchy: considera sequências sobre o conjunto dos números racionais (${\mathbb{Q}}$) e seus pontos de aderência. Simplificadamente (para mais rápido entendimento), podemos pensar em sequências racionais convergentes unidas aos seus respectivos limites.

Um exemplo clássico é a construção de $\sqrt{a}$, a raiz quadrada de um número inteiro positivo $a$, através de sua sequência de Newton-Raphson (no contexto de Matemática Numérica)

$$\left\{ \begin{array}{l} x_0 = 1 \\ x_{n+1} = \displaystyle \frac{x_n}{2} + \frac{a}{2x_n} \end{array} \right. .$$

Primeiramente, observamos que $a=1$ não é uma situação de interesse, e podemos pensar que $a > 1$, e assim

$$x_1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1+a}{2} > \sqrt{a}$$

uma vez que $(1-\sqrt{a})^2 = 1 - 2\sqrt{a} + a \Rightarrow 1+a > 2\sqrt{a}$.

Assim, no contexto de Matemática Numérica, observamos que a sequência acima corresponde a aplicação do método de Newton-Raphson para $f(x) = x^2 - a$, e que $x_1$ sempre satisfaz o Critério de Fourier $f(x_1) f''(x_1) > 0$, que portanto garante a convergência $\{x_n\} \rightarrow \sqrt{a}$. Assim, $\{x_n\} \subset {\mathbb{Q}}$ sempre converge a $\sqrt{a}$.

Escolha um valor para $a$ : 2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24

Construção de Dedekind: fundamenta-se em resultado creditado a Richard Dedekind (Alemanha 1831-1916), que estabelece que para todo corte (particionamento) dos números racionais em dois conjuntos $A$ e $B$ tais que qualquer elemento de $B$ é maior do que qualquer elemento de $A$ corresponde um único número $u$. Se $A$ possuir um maior elemento ou $B$ possuir um menor elemento, esse elemento é tal $u$. Caso, contrário, isto é, se $A$ não possuir maior elemento e $B$ não possuir menor elemento, então tal $u$ é um número que não é racional e que está entre $A$ e $B$; tal $u$ é portanto um número irracional.

Dessa forma, está fundamentada a construção de um número irracional usando cortes sobre os racionais. No caso de $\sqrt{a}$, onde $a > 1$ é inteiro, podemos escolher

$$A = \{ q : q^2 < a \} \bigcup \{ q: q \leq 0 \} , B = \{ q: q^2 > a \}$$

Acesse aqui ferramenta de aprendizagem que ilustra essa construção para raízes quadradas.

Acesse aqui ferramenta de aprendizagem que ilustra essa construção para raízes cúbicas.