Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminário Integrador I

Exercício 1 : Modelagem da periodicidade usando funções trigonométricas.

PEDE-SE encontrar uma função $\phi$ que descreva a tabela

$x$	0	1	2	4	5	6	8	9	10	12
$y$	1.2	2	1.6	1.2	2	1.6	1.2	2	1.6	1.2

sendo $y = \phi(x)$.

Solução: Como os dados exibem periodicidade, sabemos que $\phi$ deve ser uma função periódica. Lembramos que o menor período de uma função $f$ é um $T$ positivo tal que $f(x+T) = f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$. Nossa tabela revela um menor período 4. Por outro lado, uma função períodica bastante simples é um seno, ou uma senóide. Na disciplina de Cálculo, você teve contato com a idéia de que alguns parâmetros, quando adicionados a uma função, provocam certas alterações em seu gráfico, como

• translação vertical;
• translação horizontal;
• alongamento ou compressão vertical;
• alongamento ou compressão horizontal.

Assim, por simplicidade, procuramos uma função que tenha a forma

$\phi(x) = A \mbox{sen} ( w x + \theta) + B$.

onde os quatro parâmetros introduzidos acima representam aquelas quatro alterações:

parâmetro	em matematica	em fisica
$B$	translação vertical	normalmente considera $B=0$
$\theta$	translação horizontal	deslocamento de fase
$A$	escala vertical	amplitude
$w$	escala horizontal	velocidade

Lembramos que o menor período da função seno é $2\pi$, enquanto o menor período de $\phi$ deve ser $T=4$. Assim

$$w (x + T) + \theta = w x + \theta + 2\pi \Rightarrow w = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{2}$$

Para $x=0$ , $x=1$ e $x=2$ temos

$$\left\{ \begin{array}{l} A \mbox{sen} (\theta) + B = 1.2 = 6/5 \\... ... \pi + \theta\right) + B= -A \mbox{sen} (\theta) +B = 1.6 \end{array} \right.$$

Combinando a primeira com a última, temos $2B = 1.2 + 1.6 \Rightarrow B = 7/5$, substituindo

$$\left\{ \begin{array}{l} A \mbox{sen} (\theta) = -0.2 \\ A \cos(... ... \Rightarrow \tan(\theta) = \frac{-1}{3} \Rightarrow \theta = \mbox{atan}(-1/3)$$

o que implica

$$\mbox{sec}^2(\theta)= 1 + 1/9 \Rightarrow \mbox{sec}(\theta) = \sqrt{10}/3 \Rightarrow \cos(\theta) = 3/\sqrt{10}$$

e assim

$\mbox{sen} ^2(\theta) = 1 - 9/10 = 1/10 \Rightarrow \mbox{sen} (\theta) = -1/\sqrt{10}$.

Temos então $$A = \frac{-0.2}{-1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$, o que implica

$$y = \frac{\sqrt{10}}{5} \left( \mbox{sen} \left(\frac{\pi x}{2} - \mbox{atan}(1/3) \right) \right)$$

ou ainda, usando que $\mbox{sen} (wx+\theta)=\mbox{sen} (wx)\cos(\theta)+\cos(wx)\mbox{sen} (\theta)$, temos

$$y = \frac{\sqrt{10}}{5} \left( \mbox{sen} \left(\frac{\pi x}{2} \... ... x}{2} \right) - \frac{1}{5} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \frac{7}{5}$$.

A figura abaixo mostra a curva acima, juntamente com os pontos da tabela. O gráfico foi gerado em MATLAB.